Узагальнення зворотних теорем С. Н. Бернштейна і Ш. Валле-Пуссена. - Дослідження якнайкращих наближень безперервних періодичних функцій тригонометричними поліномами
У цьому параграфі узагальнюються і уточнюються так звані "зворотні теореми" теорії наближення. Мова йде про оцінці диференціальних властивостей функції f, Якщо відомі властивості послідовності її якнайкращих наближень {En}.
Лема 9. Задамо натуральне число До, і хай
(6.1)
І
. (6.2)
Тоді
(6.3)
Доказ. Маємо, згідно (2.1)
Але з (2.10) і (6.2) отримуємо
А з (2.2) і (6.1)
Тому
Ліва частина цієї нерівності не залежить від N, а тому
І лема доведена.
Для отримання гарних оцінок зазвичай досить узяти. Проте на виключена можливість, що в деяких випадках інший вибір може опинитися переважно.
Теорема 7. Хай К-натуральное число, функція не убуває і
(6.4)
Для того, щоб необхідно і достатнє виконання умови
(6.5)
Доказ. Необхідність умови (6.5) витікає із слідства 3.2. Встановимо його достатність, для чого скористаємося лемою 9. Отримуємо:
Покладемо тут ; тоді для матимемо
і тому
І теорема доведена.
Відзначимо два слідства з цієї теореми.
Слідство 7.1. Хай К-натуральное число, функція не убуває і
(6.6)
Для того, щоб необхідно і достатнє виконання умови
(6.7)
Слідство 7.2. Хай К-натуральное число і Якщо
І
(6.8)
То
Рівномірно відносно N.
Це витікає з теорем 7 і 6.
Теорема 7 показує, що потрібно додати до умови (6.4), щоб отримати. Тепер ми отримаємо оцінки для виходячи тільки з умов вигляду (6.4). Попутно з'ясовується, що при деяких додаткових обмеженнях на функцію умова (6.5) стає зайвою. Суть справи в тому, що при цих обмеженнях (6.4) вабить (6.5).
Лема 10. Хай
(6.9)
Де. Тоді для будь-якого натурального До
(6.10)
Доказ. Зафіксуємо натуральне число N, визначимо натуральне P З умов
І побудуємо послідовність номерів поклавши
Для оцінки представимо у такому вигляді:
Оскільки то звідси
(6.11)
Оцінимо Ul(k). Маємо для L=1,2...,p
Звідки
Але є тригонометричний поліном порядку не вище Nl. Тому по нерівності С. Н. Бернштейна
(6.12)
Відмітимо тепер, що, через визначення послідовності {Nl}
і для
Тому, користуючись ще монотонністю послідовності {Fn}2 Знаходимо, що для
(6.13)
При допомозі (6.11), (6.12) і (6.13) знаходимо остаточно:
І лема доведена.
Теорема 8. Для будь-якого натурального До І будь-якого
(6.14)
Доказ. Маємо
Звідси, по лемі 10
Скористаємося тепер лемою 9. Отримуємо:
Якщо то. Крім того
Тому для
І теорема доведена.
Ми звертаємося тепер до розгляду питання про те, при яких обмеженнях на {En} умову (6.4) вабить
Теорема 9. Задамо натуральне число До; хай і. Для того, щоб необхідно і достатнє виконання умови
(6.15)
Доказ. Необхідність умови (6.15) витікає з теореми 1. Доведемо його достатність. Згідно теоремі 8, для
Покладемо тут і відмітимо, що тоді для і, через умову _
Тому для
І теорема доведена.
Слідство 9.1. Хай і. Тоді для всіх натуральних класи еквівалентні.
Слідство 9.2. Хай і. Якщо
То для будь-якого фіксованого натурального
Рівномірно відносно N.
Розглянемо тепер наступне питання. як зв'язані наближення функції F З наближеннями і диференціальними властивостями її похідних F (r)?
Теорема 10. Задамо натуральне число R, І хай
(6.16)
Де
(6.17)
Тоді F Має безперервну похідну F(r) і
(6.18)
С. Н. Бернштейн [3] довів таку теорему: якщо ряд сходиться, то функція F Має безперервну похідну F (r). Розгляд цього доказу С. Н. Бернштейна показує, що насправді їм встановлене наступне, більш загальна пропозиція: хай виконані умови (6.16) і (6.17). Тоді функція F Має безперервну похідну F(r) і рівномірно відносно X. В ході доведення теореми 10 ми знов встановимо цю пропозицію.
Доказ. при. Тому рівномірно відносно X. Звідси витікає, що якщо {Nk} (K=0,1,2...) Є зростаюча послідовність номерів, то
Зафіксуємо натуральне число N І покладемо
Тоді матимемо
(6.19)
Де
Доведемо, що формулу (6.19) можна продиференціювати почленно R Разів, тобто
(6.20)
Для цього досить встановити, що ряд справа рівномірно сходиться. Перш за все, оцінимо. Маємо
Звідки
Оцінимо тепер. По нерівності С. Н. Бернштейна
Користуючись цією оцінкою, отримуємо:
Але
Тому
(6.21)
Отже, доведена збіжність ряду а разом з цим встановлена і формула (6.20). З (6.20) і (6.21) витікає, що
І теорема доведена.
В деяких випадках оцінка (6.18) може бути спрощена. Хай, наприклад
(6.22)
Тоді
Тому при виконанні умови (6.22) замість (6.18) можна написати
Слідство 10.1. Хай R-натуральное число і сходиться ряд
Тоді
(6.23)
Теорема 11. Хай R-натуральное число і для функції F Сходиться ряд
Тоді для будь-якого натурального До І будь-якого
(6.24)
Доказ. Маємо
Звідси, по лемі 10
Далі, згідно теоремі 10
Скористаємося тепер лемою 9. Отримуємо
Відмітимо, що
Таким чином, якщо то
І теорема доведена.
Похожие статьи
-
Цей параграф носить допоміжний характер. Тут встановлюється декілька простих властивостей модуля нерперывности вищих порядків. Всі функції F1 , що...
-
Тут буде отримано невелике посилення теореми Джексона про якнайкращі наближення періодичних функцій тригонометричними поліномами. Лема 7. Хай дано...
-
Звернемося тепер до розгляду наступного питання: які необхідні і достатні умови того, щоб Де - задана незростаюча функція? Наскільки нам відомо, це...
-
У цьому параграфі встановлюється, що якщо тригонометричний поліном Tn(x) Близький до заданої функції F , то його модулі безперервності можна оцінити...
-
У роботі розглядаються безперервні функції F З періодом 2p і їх наближення тригонометричними поліномами. Через Tn(x) Позначається тригонометричний...
-
Дипломна робота присвячена дослідженню якнайкращих наближень безперервних періодичних функцій тригонометричними поліномами. У ній даються необхідні і...
-
У цьому параграфі формулюється одне узагальнення нерівності С. Н. Бернштейна для похідних від тригонометричного полінома. Теорема 2. Хай. Тоді для...
-
Приклад 1. Хай Тоді при кожному Приклад 2. Хай графік функції F(x) Має вигляд, зображений на рис.8.1. Тоді графік функції показаний на рис.8.2. Мал. 8.1....
-
Теорема Маркова - Невід'ємні матриці
Нехай для стохастичної матриці P існує натуральне число k0 таке, що (тобто всі елементи додатні). Тоді 1. (існування границі матриці означає, що існує...
-
Теорема 1. Нехай послідовності (хП) і (уП) мають відповідно границі а і b. Тоді послідовність (xN+yN) має границю а + b. Теорема 2. Нехай послідовності...
-
Знаходження границь та частинних похідних і диференціалів функцій двох змінних
Знаходження границь та частинних похідних і диференціалів функцій двох змінних Будь-який упорядкований набір з П Дійсних чисел Х 1 ,...,x N позначається...
-
Теорема 1. Похідна від функції logax дорівнює, тобто якщо y=logax, то . (11.1) Теорема 2. Похідна від sinx є cosx, тобто якщо y=sinx, то Y =cosx. (11.2)...
-
Принцип сходимости, Предел функции. Теорема Гейне - Свойства функций
Рассмотрим вопрос о существовании пределов последовательностей концевых точек бесконечной системы промежутков, вложенных друг в друга. Лемма Кантора ....
-
Диференціал, Визначення диференціала. - Основи вищої математики
Визначення диференціала. Формули й правила диференціювання. Використання диференціала для наближених обчислень. Основні теореми диференціального...
-
Дослідження функції однієї змінної за допомогою першої й другої похідних - Основи вищої математики
I. Ознаки сталості зростання й спадання функції Теорема 1. Якщо у всіх точках проміжку A < X < B похідна F ( Х) = 0, то функція F ( Х) зберігає в...
-
Следствия теоремы, Послесловие к доказательству - Об одной теореме теории чисел
Не существует ЦЕЛЫХ чисел, для которых выполняется равенство (1). При четных значениях показателя степени уравнение вида (1) идентично как для...
-
Загальні властивості функцій - Функції та способи їх задання
Означення : Множина всіх значень аргумента, для яких можна обчислити значення функції, називається природною областю визначення функції. Область...
-
Теоремы Ферма, Ролля, Лагранжа и Коши
Введение В данном реферате рассматриваются теоремы Ферма, Ролля, Лагранжа и Коши. "Теорема - высказывание, нравственность которого установлена при помощи...
-
Положення підприємства багато в чому визначається його фінансовим станом, у зв'язку з чим аналізові фінансових результатів діяльності надається велике...
-
Функцією у = f(x) називається така відповідність між множинами D і Е, при якій кожному значенню змінної х відповідає одне й тільки одне значення змінної...
-
Теорема 1. Похідна Const =0, тобто якщо Y = С, те Y =0, де С = Const . Y = С -- пряма паралельна осі ОХ й Tg =0, тобто F ( Х) =0. Теорема 2. Постійний...
-
Зв'язок між визначеним та невизначеним інтегралами Означення 2. Визначений інтеграл з постійною нижньою межею та змінною верхньою межею називають...
-
Нехай функція F (х) задана на відрізку [a, b] . Розіб'ємо цей відрізок на N частин точками ділення А = х0 < x1 < x2 < ... < хn = b У кожному...
-
Теореми про межі. Чудові межі - Основи вищої математики
Будемо розглядати сукупність функцій, які залежать від того самого аргументу Х , при цьому Ха або Х . Доведення проводиться для одного із цих випадків,...
-
Межа функції - Основи вищої математики
Розглянемо деякі випадки зміни функції або прагнення аргументу Х до деякої межі " А " або до. Визначення 1: Нехай функція y=f(х) визначена в деякій...
-
Вступ, Необхідні відомості з теорії матриць - Невід'ємні матриці
Відомо [[1]-[10]], яку важливу роль відіграють невід'ємні матриці в математичних моделях економіки, біології, теорії ймовірностей тощо. Одними з...
-
Рождение проблемы - Великая теорема Ферма
Жизненно важным, поворотным пунктом в развитии западной математики стал 1453 год, когда турки разграбили Константинополь. За прежние годы рукописи,...
-
Характеристика існуючої системи управління обіговими коштами Системи управління обіговими коштами базується на системі обліку, яка є джерелом інформації....
-
Теорема Пенлеве - Условия Фукса и теорема Пенлеве
Все приведенные выше исследования велись в предположении, что мы изучаем поведение интеграла в области изменения z, при котором w(z) принимает вполне...
-
Похідна функцій заданих неявно і параметрично - Основи вищої математики
І. Нехай значення двох змінних Х и Y зв'язані між собою деяким рівнянням F ( Х , Y )=0. (13.1) Якщо функція Y = F ( Х) визначена на інтервалі ( А , B )...
-
Теорема Ферма - Математичний аналіз
Якщо ф-я диф. в деякому околі Т. х0 і досягає в ній екстремума, то похідна = 0. Доведення: Нехай ф. досягає в екстремума в т. х0, тоді існує окіл т. х0,...
-
В данной работе доказывается методами элементарной математики "большая" или "последняя" теорема Ферма. Некоторая, излишняя в обычных случаях, подробность...
-
Запечатанные конверты - Великая теорема Ферма
После прогресса, достигнутого благодаря работам Софи Жермен, Французская Академия Наук установила серию премий, включая золотую медаль и 3000 франков,...
-
В даний час існує ряд критеріїв для оцінки піно-утворення: 1. Властивості одинарної плівки. Ще Плато встановлено, що час життя плівки обернено...
-
Интегральная теорема Муавра-Лапласа
Предположим, что в условиях схемы Бернулли проводится испытаний, в результате каждого из которых с вероятностью () происходит событие. Интегральная...
-
В теории чисел большую роль играет числовая функция, называемая функцией Эйлера. Определение 3.1. Функцией Эйлера называется функция, определенная на...
-
Уже из приведенного примера видно, что "управлять" величинами изменения значимости тех или иных элементов иерархии достаточно проблематично вследствие ее...
-
Теорема 1. Предел постоянной равен самой постоянной. . Доказательство. f(x)=с, докажем, что . Возьмем произвольное e>0. В качестве d можно взять любое...
-
Доказательство теоремы Ферма Уважаемый Григорий Яковлевич! Обращается к Вам Черепанов Николай Михайлович, математик из Барнаула. В 2004 году, я...
-
Месье Леблан - Великая теорема Ферма
К началу XIX века за Великой теоремой Ферма установилась устойчивая репутация самой трудной проблемы в теории чисел. После прорыва, осуществленного...
Узагальнення зворотних теорем С. Н. Бернштейна і Ш. Валле-Пуссена. - Дослідження якнайкращих наближень безперервних періодичних функцій тригонометричними поліномами