Узагальнення зворотних теорем С. Н. Бернштейна і Ш. Валле-Пуссена. - Дослідження якнайкращих наближень безперервних періодичних функцій тригонометричними поліномами

У цьому параграфі узагальнюються і уточнюються так звані "зворотні теореми" теорії наближення. Мова йде про оцінці диференціальних властивостей функції f, Якщо відомі властивості послідовності її якнайкращих наближень {En}.

Лема 9. Задамо натуральне число До, і хай

(6.1)

І

. (6.2)

Тоді

(6.3)

Доказ. Маємо, згідно (2.1)

Але з (2.10) і (6.2) отримуємо

А з (2.2) і (6.1)

Тому

Ліва частина цієї нерівності не залежить від N, а тому

І лема доведена.

Для отримання гарних оцінок зазвичай досить узяти. Проте на виключена можливість, що в деяких випадках інший вибір може опинитися переважно.

Теорема 7. Хай К-натуральное число, функція не убуває і

(6.4)

Для того, щоб необхідно і достатнє виконання умови

(6.5)

Доказ. Необхідність умови (6.5) витікає із слідства 3.2. Встановимо його достатність, для чого скористаємося лемою 9. Отримуємо:

Покладемо тут ; тоді для матимемо

і тому

І теорема доведена.

Відзначимо два слідства з цієї теореми.

Слідство 7.1. Хай К-натуральное число, функція не убуває і

(6.6)

Для того, щоб необхідно і достатнє виконання умови

(6.7)

Слідство 7.2. Хай К-натуральное число і Якщо

І

(6.8)

То

Рівномірно відносно N.

Це витікає з теорем 7 і 6.

Теорема 7 показує, що потрібно додати до умови (6.4), щоб отримати. Тепер ми отримаємо оцінки для виходячи тільки з умов вигляду (6.4). Попутно з'ясовується, що при деяких додаткових обмеженнях на функцію умова (6.5) стає зайвою. Суть справи в тому, що при цих обмеженнях (6.4) вабить (6.5).

Лема 10. Хай

(6.9)

Де. Тоді для будь-якого натурального До

(6.10)

Доказ. Зафіксуємо натуральне число N, визначимо натуральне P З умов

І побудуємо послідовність номерів поклавши

Для оцінки представимо у такому вигляді:

Оскільки то звідси

(6.11)

Оцінимо Ul(k). Маємо для L=1,2...,p

Звідки

Але є тригонометричний поліном порядку не вище Nl. Тому по нерівності С. Н. Бернштейна

(6.12)

Відмітимо тепер, що, через визначення послідовності {Nl}

і для

Тому, користуючись ще монотонністю послідовності {Fn}2 Знаходимо, що для

(6.13)

При допомозі (6.11), (6.12) і (6.13) знаходимо остаточно:

І лема доведена.

Теорема 8. Для будь-якого натурального До І будь-якого

(6.14)

Доказ. Маємо

Звідси, по лемі 10

Скористаємося тепер лемою 9. Отримуємо:

Якщо то. Крім того

Тому для

І теорема доведена.

Ми звертаємося тепер до розгляду питання про те, при яких обмеженнях на {En} умову (6.4) вабить

Теорема 9. Задамо натуральне число До; хай і. Для того, щоб необхідно і достатнє виконання умови

(6.15)

Доказ. Необхідність умови (6.15) витікає з теореми 1. Доведемо його достатність. Згідно теоремі 8, для

Покладемо тут і відмітимо, що тоді для і, через умову _

Тому для

І теорема доведена.

Слідство 9.1. Хай і. Тоді для всіх натуральних класи еквівалентні.

Слідство 9.2. Хай і. Якщо

То для будь-якого фіксованого натурального

Рівномірно відносно N.

Розглянемо тепер наступне питання. як зв'язані наближення функції F З наближеннями і диференціальними властивостями її похідних F (r)?

Теорема 10. Задамо натуральне число R, І хай

(6.16)

Де

(6.17)

Тоді F Має безперервну похідну F(r) і

(6.18)

С. Н. Бернштейн [3] довів таку теорему: якщо ряд сходиться, то функція F Має безперервну похідну F (r). Розгляд цього доказу С. Н. Бернштейна показує, що насправді їм встановлене наступне, більш загальна пропозиція: хай виконані умови (6.16) і (6.17). Тоді функція F Має безперервну похідну F(r) і рівномірно відносно X. В ході доведення теореми 10 ми знов встановимо цю пропозицію.

Доказ. при. Тому рівномірно відносно X. Звідси витікає, що якщо {Nk} (K=0,1,2...) Є зростаюча послідовність номерів, то

Зафіксуємо натуральне число N І покладемо

Тоді матимемо

(6.19)

Де

Доведемо, що формулу (6.19) можна продиференціювати почленно R Разів, тобто

(6.20)

Для цього досить встановити, що ряд справа рівномірно сходиться. Перш за все, оцінимо. Маємо

Звідки

Оцінимо тепер. По нерівності С. Н. Бернштейна

Користуючись цією оцінкою, отримуємо:

Але

Тому

(6.21)

Отже, доведена збіжність ряду а разом з цим встановлена і формула (6.20). З (6.20) і (6.21) витікає, що

І теорема доведена.

В деяких випадках оцінка (6.18) може бути спрощена. Хай, наприклад

(6.22)

Тоді

Тому при виконанні умови (6.22) замість (6.18) можна написати

Слідство 10.1. Хай R-натуральное число і сходиться ряд

Тоді

(6.23)

Теорема 11. Хай R-натуральное число і для функції F Сходиться ряд

Тоді для будь-якого натурального До І будь-якого

(6.24)

Доказ. Маємо

Звідси, по лемі 10

Далі, згідно теоремі 10

Скористаємося тепер лемою 9. Отримуємо

Відмітимо, що

Таким чином, якщо то

І теорема доведена.

Похожие статьи




Узагальнення зворотних теорем С. Н. Бернштейна і Ш. Валле-Пуссена. - Дослідження якнайкращих наближень безперервних періодичних функцій тригонометричними поліномами

Предыдущая | Следующая