Загальні властивості функцій - Функції та способи їх задання

Означення: Множина всіх значень аргумента, для яких можна обчислити значення функції, називається природною областю визначення функції. Область визначення може бути заданою; у цьому випадку вона залежить також від умови задачі.

Приклад: Знайти область визначення функції

D(y)=(-1; 0)(0; 1] - природна область визначення. Якщо за умовою задачі Х -- відстань, а це означає, що Х 0, тоді D(y)==(0; 1] -- задана область визначення.

Означення: Функція У = f(x) називається парною (непарною), якщо для будь-якого Х D виконується умова F(-x) =f(x) (f(-x) = - f(х)).

Функція буде ні парною, ні непарною, якщо для Х D, F(-x)f(x).

Приклад: У = cos Х -- парна функція (графік функції симетричний відносно осі ординат (рис. 3.2)), бо У(х)=cos(- х)=cosx=у(х);у=arctgx -- непарна функція (графік функції симетричний відносно початку координат (рис. 3.3)), бо У(- х)= =arctg(- х)= - arctgx = - у(х); у = arccosx -- ні парна, ні непарна (рис. 3.4), бо У(-x)=arccos(-х)= - arccosx * ± у(х).

Означення: Функція У = f(x) Називається періодичною, якщо для Х D виконується умова F(x+Т) = f(x - T) = f(x), де число Т -- період функції.

Приклад: У = tgx -- періодична функція з мінімальним періодом Т =

(див. рис. 3.5), бо Tg(x +) = tg(х -) = tgx .

Означення: Функція У - f(x) Називається обмеженою на множині D, якщо для всіх Х D виконується умова де М > 0 -- деяке скінченне число.

Приклад: Y = arcsinx -- обмежена функція для всіх Х [- 1; 1] (рис. 3.6), бо

Означення: Функція У - f(x) називається монотонно зростаючою (спадною) на множині D, якщо для всіх Х D більшому значенню аргумента відповідає більше (менше) значення функції, тобто

Приклад: У = logA Х -- монотонно спадна функція при 0 < а <1, а при А > 1 -- монотонно зростаюча (рис. 3.7).

Елементарні функції

Основні з них:

    1) степенева У = хА; 1) степенева У = хА; 2) показникова У = аХ, а > 0, а 1 (рис. 3.8); 3) логарифмічна У = logА Х, а > 0, а 1 (рис. 3.7); 4) тригонометричні: У = cosx (рис. 3.2); У = sinx (рис. 3.9); У = tgx (рис. 3.5); У = ctgx (рис. 3.10); 5) обернені тригонометричні: y = arcsinx (рис. 3.6); Y = arccosx (рис. 3.4); У = arctgx (рис. 3.5); У = arcctgx (рис. 3.11).

Рис. 3.10

Функція вважається елементарною, якщо вона може бути побудована з основних елементарних функцій за допомогою скінченного числа алгебраїчних дій та суперпозицій, наприклад

- елементарна функція.

Означення: Функція У=у(х) Називається алгебраїчною, якщо У(х) -- розв'язок рівняння

Де РІ(х), i = (О, n) -- многочлени.

Приклад: Функція буде алгебраїчною, бо вона є розв'язком рівняння

Усі неалгебраїчні функції називаються трансцендентними.

Алгебраїчні функції поділяються на раціональні (цілі й дробові) та ірраціональні.

Цілою раціональною функцією буде упорядкований многочлен

Дробово-раціональною функцією буде відношення многочленів

Або

План практичних занять

1. Функції, їх властивості та області визначення.

Термінологічний словник ключових понять:

Функція -- це така відповідність між множинами D та Е, при якій кожному значенню змінної XD відповідає одне й тільки одне значення.

Область визначення функції -- це множина всіх значень аргумента, для яких можна обчислити значення функції.

Навчальні завдання

1. Приклад: Знайти область визначення функції

Функція визначена, якщо Х - 1 та 1+Х > 0. Таким чином, областю визначення функції є: .

2. Приклад: Знайти область визначення функції

.

Перший доданок приймає дійсні значення при, а другий при. Розв'язавши одержану систему нерівностей, знайдемо область означення функції: .

4. Приклад: Визначити, яка з заданих функцій парна чи непарна: а) ; б)

; в)

    А) Так як, то функція непарна. Б) Маємо

Функція парна

В) Тут Таким чином, функція не є ні парною, ні непарною.

Похожие статьи




Загальні властивості функцій - Функції та способи їх задання

Предыдущая | Следующая