Загальні властивості функцій - Функції та способи їх задання
Означення: Множина всіх значень аргумента, для яких можна обчислити значення функції, називається природною областю визначення функції. Область визначення може бути заданою; у цьому випадку вона залежить також від умови задачі.
Приклад: Знайти область визначення функції
D(y)=(-1; 0)(0; 1] - природна область визначення. Якщо за умовою задачі Х -- відстань, а це означає, що Х 0, тоді D(y)==(0; 1] -- задана область визначення.
Означення: Функція У = f(x) називається парною (непарною), якщо для будь-якого Х D виконується умова F(-x) =f(x) (f(-x) = - f(х)).
Функція буде ні парною, ні непарною, якщо для Х D, F(-x)f(x).
Приклад: У = cos Х -- парна функція (графік функції симетричний відносно осі ординат (рис. 3.2)), бо У(х)=cos(- х)=cosx=у(х);у=arctgx -- непарна функція (графік функції симетричний відносно початку координат (рис. 3.3)), бо У(- х)= =arctg(- х)= - arctgx = - у(х); у = arccosx -- ні парна, ні непарна (рис. 3.4), бо У(-x)=arccos(-х)= - arccosx * ± у(х).
Означення: Функція У = f(x) Називається періодичною, якщо для Х D виконується умова F(x+Т) = f(x - T) = f(x), де число Т -- період функції.
Приклад: У = tgx -- періодична функція з мінімальним періодом Т =
(див. рис. 3.5), бо Tg(x +) = tg(х -) = tgx .
Означення: Функція У - f(x) Називається обмеженою на множині D, якщо для всіх Х D виконується умова де М > 0 -- деяке скінченне число.
Приклад: Y = arcsinx -- обмежена функція для всіх Х [- 1; 1] (рис. 3.6), бо
Означення: Функція У - f(x) називається монотонно зростаючою (спадною) на множині D, якщо для всіх Х D більшому значенню аргумента відповідає більше (менше) значення функції, тобто
Приклад: У = logA Х -- монотонно спадна функція при 0 < а <1, а при А > 1 -- монотонно зростаюча (рис. 3.7).
Елементарні функції
Основні з них:
- 1) степенева У = хА; 1) степенева У = хА; 2) показникова У = аХ, а > 0, а 1 (рис. 3.8); 3) логарифмічна У = logА Х, а > 0, а 1 (рис. 3.7); 4) тригонометричні: У = cosx (рис. 3.2); У = sinx (рис. 3.9); У = tgx (рис. 3.5); У = ctgx (рис. 3.10); 5) обернені тригонометричні: y = arcsinx (рис. 3.6); Y = arccosx (рис. 3.4); У = arctgx (рис. 3.5); У = arcctgx (рис. 3.11).
Рис. 3.10
Функція вважається елементарною, якщо вона може бути побудована з основних елементарних функцій за допомогою скінченного числа алгебраїчних дій та суперпозицій, наприклад
- елементарна функція.
Означення: Функція У=у(х) Називається алгебраїчною, якщо У(х) -- розв'язок рівняння
Де РІ(х), i = (О, n) -- многочлени.
Приклад: Функція буде алгебраїчною, бо вона є розв'язком рівняння
Усі неалгебраїчні функції називаються трансцендентними.
Алгебраїчні функції поділяються на раціональні (цілі й дробові) та ірраціональні.
Цілою раціональною функцією буде упорядкований многочлен
Дробово-раціональною функцією буде відношення многочленів
Або
План практичних занять
1. Функції, їх властивості та області визначення.
Термінологічний словник ключових понять:
Функція -- це така відповідність між множинами D та Е, при якій кожному значенню змінної XD відповідає одне й тільки одне значення.
Область визначення функції -- це множина всіх значень аргумента, для яких можна обчислити значення функції.
Навчальні завдання
1. Приклад: Знайти область визначення функції
Функція визначена, якщо Х - 1 та 1+Х > 0. Таким чином, областю визначення функції є: .
2. Приклад: Знайти область визначення функції
.
Перший доданок приймає дійсні значення при, а другий при. Розв'язавши одержану систему нерівностей, знайдемо область означення функції: .
4. Приклад: Визначити, яка з заданих функцій парна чи непарна: а) ; б)
; в)
- А) Так як, то функція непарна. Б) Маємо
Функція парна
В) Тут Таким чином, функція не є ні парною, ні непарною.
Похожие статьи
-
Поняття функціональної залежності - Функції та способи їх задання
Величина називається змінною (сталою), якщо в умовах даної задачі набуває різних (тільки одне) значень. Розглянемо дві змінні величини. Означення :...
-
Знаходження границь та частинних похідних і диференціалів функцій двох змінних
Знаходження границь та частинних похідних і диференціалів функцій двох змінних Будь-який упорядкований набір з П Дійсних чисел Х 1 ,...,x N позначається...
-
Теорема 1. Похідна від функції logax дорівнює, тобто якщо y=logax, то . (11.1) Теорема 2. Похідна від sinx є cosx, тобто якщо y=sinx, то Y =cosx. (11.2)...
-
Теорема 1. Нехай послідовності (хП) і (уП) мають відповідно границі а і b. Тоді послідовність (xN+yN) має границю а + b. Теорема 2. Нехай послідовності...
-
Функцією у = f(x) називається така відповідність між множинами D і Е, при якій кожному значенню змінної х відповідає одне й тільки одне значення змінної...
-
Межа функції - Основи вищої математики
Розглянемо деякі випадки зміни функції або прагнення аргументу Х до деякої межі " А " або до. Визначення 1: Нехай функція y=f(х) визначена в деякій...
-
У роботі розглядаються безперервні функції F З періодом 2p і їх наближення тригонометричними поліномами. Через Tn(x) Позначається тригонометричний...
-
Цей параграф носить допоміжний характер. Тут встановлюється декілька простих властивостей модуля нерперывности вищих порядків. Всі функції F1 , що...
-
Нехай функція F (х) задана на відрізку [a, b] . Розіб'ємо цей відрізок на N частин точками ділення А = х0 < x1 < x2 < ... < хn = b У кожному...
-
Границя функції, Неперервність - Вища математика
Нехай функція визначена в деякому околі точки. Околом точки називається сукупність усіх точок таких, що віддаль О-2. (Гепрія Гейне (1821-1881)- нім....
-
Безперервність функції - Основи вищої математики
Нехай функція Y = F ( Х) визначена при деякому значенні Х 0 й у деякій околиці із центром у Х 0, нехай Y 0= F ( Х 0). Якщо Х одержить деякий позитивний...
-
Функції багатьох змінних - Вища математика
Для функції однієї змінної залежна змінна, тобто функція, повністю визначається (залежить) за значенням однієї незалежної змінної. П-1. Об'єм кулі Але...
-
Набір арифметичного виразу здійснюється відповідно до таблиці. Після набору арифметичного виразу треба натиснути клавішу =. Якщо у виразі...
-
У цьому параграфі встановлюється, що якщо тригонометричний поліном Tn(x) Близький до заданої функції F , то його модулі безперервності можна оцінити...
-
ХІМІЧНІ ВЛАСТИВОСТІ КИСНЮ І СІРКИ - Загальні відомості про елементи
Ви вже знаєте, що кисень -- дуже реакційноздатна речовина. Він реагує з багатьма металами, неметалами багатьма складними речовинами, виявляючи...
-
Дослідження функції однієї змінної за допомогою першої й другої похідних - Основи вищої математики
I. Ознаки сталості зростання й спадання функції Теорема 1. Якщо у всіх точках проміжку A < X < B похідна F ( Х) = 0, то функція F ( Х) зберігає в...
-
Похідна функцій заданих неявно і параметрично - Основи вищої математики
І. Нехай значення двох змінних Х и Y зв'язані між собою деяким рівнянням F ( Х , Y )=0. (13.1) Якщо функція Y = F ( Х) визначена на інтервалі ( А , B )...
-
Визначення : Скалярний добуток двох векторів і дорівнює добутку модулів цих векторів на косинус кута між ними . (6.1) Таким чином, скалярний добуток двох...
-
Точки розриву і їхня класифікація. Теореми про безперервні функції - Основи вищої математики
Якщо функція F така, що для неї існують межі F ( А +0) і F ( А --0), однак F ( А ) F ( А +0) F ( А --0), то, мабуть, вона нерозривна (не безперервна) у...
-
Визначники та їх властивості - Основи вищої математики
До поняття визначника приходимо, розглядаючи системи алгебраїчних рівнянь першого степеня. Розглянемо систему рівнянь: (2.1) X та y -- невідомі,...
-
З математичної точки зору розв'язки (1) і (2) мають однаковий зміст. О-1 Подвійним інтегралом від функції по області називається границя (3) За умови, що...
-
У цьому параграфі узагальнюються і уточнюються так звані "зворотні теореми" теорії наближення. Мова йде про оцінці диференціальних властивостей функції f...
-
Горіння простих і складних речовин: А) С + О2 СО2 2Сu + O2 = 2CuO (окислення, крім благородних металів) Б) СН4 + 2О2 СО2 + 2Н2О 2. Розклад під час...
-
Приклад 1. Хай Тоді при кожному Приклад 2. Хай графік функції F(x) Має вигляд, зображений на рис.8.1. Тоді графік функції показаний на рис.8.2. Мал. 8.1....
-
ДИФЕРЕНЦІАЛЬНЕ ЧИСЛЕННЯ ФУНКЦІЇ ОДНІЄЇ ЗМІННОЇ, Поняття межі послідовності - Основи вищої математики
Математика алгебра геометрія тригонометрія Поняття межі послідовності Визначення : Нехай кожному натуральному числу n=1, 2, 3, ... за деяким законом...
-
Визначення : Алгебраїчні лінійні рівняння називаються однорідними, якщо в них вільний член дорівнює нулю. Розглянемо таку систему, що має вигляд: (10.1)...
-
Дипломна робота присвячена дослідженню якнайкращих наближень безперервних періодичних функцій тригонометричними поліномами. У ній даються необхідні і...
-
Визначення : Сукупність лінійно незалежних векторів, по яких відбувається розкладання інших векторів, називається Базисом . Отже, у площині можуть...
-
Теорема 1. Похідна Const =0, тобто якщо Y = С, те Y =0, де С = Const . Y = С -- пряма паралельна осі ОХ й Tg =0, тобто F ( Х) =0. Теорема 2. Постійний...
-
Реалізація бульової функції на одному нейроні - Нейроматематика
Розглянемо алфавіт значень змінних Z2={0,1}. Самі бульові змінні будемо позначати через x1,x2,...,xN.Розглянемо множину Z2N={(a1,a2,...,aN)/aIZ2}....
-
Диференціал, Визначення диференціала. - Основи вищої математики
Визначення диференціала. Формули й правила диференціювання. Використання диференціала для наближених обчислень. Основні теореми диференціального...
-
ЙОД Сировиною для промислового одержання йоду служать нафтові бурові води, морські водорості, а також маткові розчини чилійської (натрієвої) селітри, що...
-
Історія натрію - Натрій: історія, властивості
Назва "натрій" походить від стародавнього слова, яке порівняно широко поширене в Єгипті, а так само у древніх греків і римлян. Це слово можна було...
-
У цьому параграфі формулюється одне узагальнення нерівності С. Н. Бернштейна для похідних від тригонометричного полінома. Теорема 2. Хай. Тоді для...
-
КАУЧУК І ГУМА, ДЖЕРЕЛА НАТУРАЛЬНОГО КАУЧУКУ, ВЛАСТИВОСТІ КАУЧУКУ - Каучук і гума
Каучук - речовина, що одержується з каучуконосних рослин, що ростуть у тропіках і утримуючих молочну рідину (латекс) у коренях, стовбурі, гілках, чи...
-
Отримання титану - Титан та його властивості
Ціна - от що ще гальмує виробництво і споживання, титану. Власне, висока вартість - не уроджений порок титану. У земній корі його багато - 0,63%....
-
Якщо аргумент і функція задані, то для введення графіка треба обрати з меню Графіки (Graphics) Декартовий графік (X-Y Plot) або клавішу @. У документі...
-
Фізичні і механічні властивості титану - Титан та його властивості
Титан дуже тугоплавкий метал. Довгий час вважався, що він плавиться при 1800° С, однак у середині 50-х рр. англійські вчені Діардорф і Хейс установили...
-
Хімічні сполуки титану - Титан та його властивості
З одновалентними галогенами (фтором, бромом, хлором і йодом) він може утворювати ди - три - і, тетраз'єднання, із сіркою й елементами її групи (селеном,...
-
Задачі, що привели до поняття визначеного інтеграла Розглянемо дві задачі -- геометричну та фізичну. 1. Обчислення площі криволінійної трапеції . Нехай...
Загальні властивості функцій - Функції та способи їх задання