Прості властивості модулів неперевності - Дослідження якнайкращих наближень безперервних періодичних функцій тригонометричними поліномами

Цей параграф носить допоміжний характер. Тут встановлюється декілька простих властивостей модуля нерперывности вищих порядків. Всі функції F1, що розглядаються тут, f2 ... - Безперервні.

ЛЕМА 1. Для будь-якого натурального До і будь-якого Dі0

(2.1)

Доказ: за визначенням

Лема доведена.

ЛЕМА 2. Хай F І L -натуральные числа, L<k. Тоді для будь-якого Dі0

(2.2)

І (2.3)

Доказ: Покладемо

Тоді для 0Јl<k маємо

Звідки

Звідси при L=0 витікає, що

,

А при 0<l<k

Вважаючи в (2.3) L=1, знаходимо, що

З цієї нерівності видно, що для будь-якого натурального До

. (2.4)

ЛЕМА 3. Для будь-якого натурального До Модуль безперервності К-го порядку є безперервною функцією від D.

Доказ: Хай Маємо

Звідси

І

Таким чином

І так як при то звідси витікає безперервність функції і лема доведена.

ЛЕМА 4. Хай До І P-натуральные числа. Тоді для будь-якого Dі0

(2.5)

Доказ: Індукція по До Дає формулу

Звідси

І

Лема доведена.

ЛЕМА 5. Хай К-натуральное число, D>0, H>0. Тоді

(2.6)

Якщо крім того 0<d<h, то

(2.7)

Доказ: Доведемо спершу нерівність (2.6). Розглянемо випадок для HЈd. Знайдемо натуральне число P З умов

(2.8)

Тоді H<pd-1, і так як - є неубутною функцією від H, то беручи до уваги (2.5) і (2.8), отримаємо

Розглянемо випадок для H<d. Знайдемо натуральне число P З умов

(2.9)

Тоді H<pd, і так як - є неубутною функцією від H, то беручи до уваги (2.5) і (2.9), отримаємо

,

І нерівність (2.6) доведена. Нерівність (2.7) витікає з (2.6), оскільки D+hЈ2h для 0<d<h.

Нерівність (2.7) показує, що для будь-якої Fє0 і будь-якого натурального До

(2.10)

Лема доведена.

ЛЕМА 6. Хай F Має r-ю похідну F(r). Тоді

(2.11)

І для будь-якого натурального До

(2.12)

Доказ: Обидві нерівності безпосередньо витікають з формули

Якщо K=0, то ми отримуємо формулу (2.11). Лема доведена.

Похожие статьи




Прості властивості модулів неперевності - Дослідження якнайкращих наближень безперервних періодичних функцій тригонометричними поліномами

Предыдущая | Следующая