Теореми про границі функцій, Перша чудова границя, Друга чудова границя, Неперервність функції в точці - Математичний аналіз

Теорема 1. Нехай послідовності (хП) і (уП) мають відповідно границі а і b. Тоді послідовність (xN+yN) має границю а + b.

Теорема 2. Нехай послідовності (хП) і (уП) мають відповідно границі а, b. Тоді послідовність (хП * уП) має границю, яка дорівнює а * b, тобто

Теорема 3. Нехай послідовності (хП) і (уП) мають скінченні границі, які відповідно дорівнюють, причому. Тоді послідовність має скінченну границю, яка дорівнює

Теорема 4 (Вейєрштрасса). Зростаюча або спадна обмежена послідовність має границю.

Теорема 5. Якщо послідовність (хП) має границю а, то ця границя єдина.

Перша чудова границя

Возьмем круг радиуса 1, обозначим

Радианную меру угла MOB через Х.

Пусть 0 < X < р/2. На рисунке |АМ| = sin x, дуга МВ численно равна центральному углу Х, |BC| = tg x. Тогда

Разделим все на и получим:

Т. к. , то по признаку существования пределов следует.

Друга чудова границя

Пусть х>?. Каждое значение х заключено между двумя положительными целыми числами:

Если x>?, то n>?, тогда

По признаку о существовании пределов:

Неперервність функції в точці

Нехай функція y = f (x) визначена в точці х0 і в деякому околі цієї точки. Функція y = f (x) називається Неперервної в Точці х0, якщо існує межа функції в цій точці і він дорівнює значенню функції в цій точці:

Це означає:

    - Функція визначена в точці х0 і в її околі; - Функція має межу при х > х0 - Межа функції в точці х0 дорівнює значенню функції в цій точці, тобто виконується рівність.

Це означає, що при знаходженні межі неперервної функції f (x) можна перейти до межі під знаком функції, тобто у функції f (x) замість аргументу х підставити граничне значення х0

Точки Розриву Функції - це точки в яких порушується неперервність функції.

Точка розриву х0 називається точкою розриву 1 роду функції y = f (x), якщо в цій точці існують скінченні межі функції зліва і справа (односторонні межі)

Функція називається Неперервною На Відрізку ] ; [ b a, якщо вона неперервна в інтервалі

) ; ( b a та неперервна справа в точці a x ѓ­ і неперервна зліва в точці b x ѓ­ .

Теорема 1. (Вейєрштрасса) Ѓ›

Неперервна на відрізку функція обмежена на цьому відрізку. Ѓњ

Теорема 2. (Вейєрштрасса) Ѓ›

Якщо функція ) (x f неперервна на відрізку ] ; [ b a, то серед її значень на цьому

Відрізку існує найменше і найбільше значення.

Теорема 3. (Больцано-Коші) Ѓ›

Якщо функція ) (x f неперервна на відрізку ] ; [ b a і якщо значення цієї функції на

Кінцях цього відрізка протилежні за знаком, то існує принаймні одна точка ); ( b a c "Ў,

Значення функції в якій дорівнює нулю: 0 )

Теорема 4. (Больцано-Коші) Ѓ›

Якщо функція ) (x f неперервна на відрізку ] ; [ b a і ) ( ) ( b f a f "j, то для будь-якого

Числа A, що знаходиться між числами ) (a f і ) (b f, існує точка ) ; ( b a c "Ў така, що A c f ѓ­ )

Похожие статьи




Теореми про границі функцій, Перша чудова границя, Друга чудова границя, Неперервність функції в точці - Математичний аналіз

Предыдущая | Следующая