Теоремы Ферма, Ролля, Лагранжа и Коши


Введение

В данном реферате рассматриваются теоремы Ферма, Ролля, Лагранжа и Коши. "Теорема - высказывание, нравственность которого установлена при помощи рассуждения, доказательства".

В тексте реферата раскрываются понятия функции и дифференцируемость функции, пределы и непрерывность функции в точке.

Общее понятие "функция" претерпело длительную и довольно сложную эволюцию. Термин "функция" впервые появилась в 1692г. у Г. Лейбница, в некотором более узком смысле. В смысле, близком к современному, этот термин употребил в письме к Лейбницу в 1698г. швейцарский ученый И. Бернулли.

В формировании современного понимания функциональной зависимости приняли участие многие крупные математики.

В аппарате изучения различных свойств функции особое место занимает теорема Лагранжа, благодаря этой теореме можно установить условия постоянства и монотонности функции. Также в теоремах Лагранжа доказываются достаточные условия экстремума.

Не менее знаменитый математик Ферма Пьер, один из создателей аналитической геометрии и дифференциального исчисления. Открыл правило нахождения экстремума с помощью производной. Автор многих теорем теории чисел. Знаменитая теорема Ферма из теории чисел, которую Ферма сформулировал без доказательства, не доказана до сих пор. Формулировка Ферма гласит: "Разделить куб на два других куба и вообще какую-нибудь степень выше второй на две степени с тем же обозначением невозможно, и я нашел воистину замечательное доказательство этого, но поля слишком узки, чтобы вместить его" .

Большой вклад в математику также внес Коши. Его определение предела функции является эквивалентным и по Гейне и доказывается одной теоремой.

Но дается два определения предела функции (по Коши, по Гейне). Общее понятие предела функции выглядит так: "Число b называется пределом функции f в точке а (или: при стремящемся к а, при а) и пишут

Lim f (v) =b,

А

Если для любого положительного числа можно подобрать такое положительное число, что

F(

Теорема Ролля является частным случаем теоремы Лагранжа, когда

F (а)-f(b) т. е. когда секущая AB параллельна оси ОЖ. И рассматривается там подробно.

1. Теорема Коши

Функция экстремум теорема коши

Предел и непрерывность функции в точке. Эквивалентность различных определений предела функции.

Пусть функция y =f(х) определена на некотором бесконечном множестве Х и пусть R - предельная точка множества Х. (т. е. любая окрестность этой точки содержит бесконечно много точек множества Х, при этом сама точка может и не принадлежать множеству).

Обозначим:

Дадим два определения предела функции.

1. Определение предела функции по Коши.

Число b называется пределом функции y= f(х) в точке, если для любой - окрестности точки b найдется - окрестность точки, такая, что для всех из области определения функции, содержащихся в проколотой - окрестности точки, соответствующие значения функции f(x) содержатся в - окрестности точки b.

( и b могут быть как конечными, так и бесконечными).

В частности, если и b конечные, определение можно переформулировать следующим образом:

Если же, = а b - конечное, то:

Lim f (x)=b>0 ?

Аналогично определяются остальные случаи.

2. Определение предела функции по Гейне.

Число b называется пределом функции y = f(x) в точке, если для любой последовательности значений аргумента x

Похожие статьи




Теоремы Ферма, Ролля, Лагранжа и Коши

Предыдущая | Следующая