Дослідження функції однієї змінної за допомогою першої й другої похідних - Основи вищої математики
I. Ознаки сталості зростання й спадання функції
Теорема 1. Якщо у всіх точках проміжку A<X<B похідна F (Х) = 0, то функція F (Х) зберігає в цьому проміжку постійне значення - тобто є відрізок горизонтальної прямої.
Теорема 2. Нехай функція F(Х) безперервна в проміжку Axb. Якщо у всіх внутрішніх його точках F (Х) >0, то функція F(Х) у даному проміжку зростає.
Теорема 3. Нехай функція F(Х) безперервна на (A,B), Axb. Якщо у всіх точках, внутрішніх F (Х) <0, то функція F(Х) у даному проміжку убуває.
Умови теорем 1, 2, 3 є достатніми, а необхідними й умови 1.
II. Екстремум функції
Визначення: Говорять, що f(х) має min у точці С, якщо f(с) <f(х) у всіх точках, що лежать по обох сторонах від точки С у достатній близькості від неї. Говорять, що f(х) має max у точці С, якщо f(с) >f(х) у всіх точках, що лежать по обох сторонах від точки С у достатній близькості від неї. Максимум і мінімум поєднуються найменуванням еКстремум.
Необхідна ознака екстремума. Для того, щоб функція F(Х) мала екстремум у точці С, необхідно щоб F (Х) оберталася в нуль або, або зовсім не існувала, але ця ознака не є достатньою.
1-ша достатня ознака наявності й відсутності екстремума
Теорема 1. Якщо в деякій околиці (A,B) точки Х0 F (X)>0 ліворуч від точки Х0 й F (X)<0 праворуч від Х0, то функція F(Х) має Max.
Якщо ж у деякій околиці (A,B) точки Х0 F (X)<0 ліворуч й F (X)>0 праворуч, то F(Х) має Min.
Таким чином, для того щоб безперервна функція в точці Х0 мала екстремум, необхідно, щоб знак похідної в цій точці змінився на протилежний, у самій же точці вона може бути дорівнює 0, або не існувати.
2-га достатня ознака екстремума
Якщо функція F(Х) у критичній точці С диференційовна двічі, то можна скористатися наступною теоремою:
Теорема. Нехай у точці с f (х) функції f(х) обертається в нуль f (с) =0.
Якщо при цьому f (с) >0, то в точці с f(х) min, якщо при f (с) <0, то в точці c f(х) max.
Практичні правила
Для знаходження всіх екстремумів функції f(х) в [a, b]
Функція повинна бути безперервною в цьому проміжку [A,B], число критичних точок повинно бути обмежене, тоді для відшукання всіх Max й Min функції в [A,B]:
1. Знаходимо всі точки проміжку (A,B), де F (Х) =0, або не існує. Якщо їх ні, то немає й екстремумів, якщо вони є, нумеруємо їх у порядку зростання: A<X1<X2<...<XN<B
- 2. У всіх інших точках інтервалу (A,B) існує кінцева похідна F (Х) 0. При цьому, якщо в яких-небудь 2-х точках "K,L" F (K) і F (L) є протилежні знаки, то між цими точками повинна щонайменше лежати одна критична точка. Тоді усередині кожної з ділянок (A,X1)(X1X2)...(XN-1XN)(X,K) похідна F (Х) зберігає незмінний знак. Якщо F (Х) >0, то функція на цій ділянці зростає, якщо f (Х) 3. Встановлюємо наявність екстремума або відсутність у кожній із критичних точок Х1, Х2, ..., ХN на підставі вище викладеного.
Зауваження 1. Із цього витікає, що точки Max й Min чергуються один з одним і що вони розбивають проміжок (A,B) на часткові проміжки, у кожному з яких функція F(Х) або зростає або спадає чергуючись.
Зауваження 2. Якщо функція F(Х) монотонна в деякому проміжку (M,N), то при будь-якому подовженні цього проміжку втрачає монотонності (або зовсім губить зміст), то говорять, що (M,N) є Проміжок Монотонності функції F(Х). Таким чином, точки екстремума функції F(Х), заданої на (A,B), розбивають його на проміжки монотонності функції F(Х).
Зауваження 3. У процесі відшукання екстремумів корисно заносити результати дослідження в таблицю.
III. Інтервали опуклості й ввігнутості. Точки перегину
А. Характер опуклості
Визначення: Говорять, що дуга АВ функції y=f(х) увігнута нагору, якщо всі точки цієї дуги лежать вище будь-якій її дотичній МТ, і ввігнута СD униз, якщо всі точки лежать нижче будь-якої дотичної.
Рис.1
Теорема: Для того, щоб дуга АВ лінії Y=F(Х) була ввігнута нагору (униз), Необхідно Й Досить, Щоб Похідна F (Х) У відповідному проміжку зростала (спадала).
Рис.2
Доказ: Необхідність ознаки. Нехай дана дуга АВ, увігнута нагору. Візьмемо в проміжку (A,B) дві довільні точки Х1 і Х2. Проведемо М1Т1 і М2Т2 і М1Q і М2 вище М1, QM2>QN
QM2=F(X2)-F(X1) : QN=M1Q =M1Q F (X1)=(X2-X1) F (X1);
Але F(X2)-F(X1)>(X2-X1)F (X1) : (X2-X1)
,
Тобто кутовий коефіцієнт М1М2 більше кутового коефіцієнта дотичної М1Т1.
Тому що точки взяті довільно, те й Х1 і Х2 можна поміняти місцями
F(X1)-F(X2)>(X1-X2)F (X2) : (X1-X2) [але (X1-X2)<0]
То одержимо
або,
Тобто F (X2) > f (X1). Тому що точки взяті довільно, то остання нерівність означає, що похідна F (Х) зростає в проміжку (A,B). Аналогічно доводиться, що якщо дуга АВ увігнута вниз, то похідна F (Х) убуває в (A,B).
Достатня ознака. Нехай похідна F (Х) зростає в проміжку (A,B), і нехай Х1 і Х2 дві довільно взяті точки цього проміжку. Потрібно довести, що точка М2(Х2,Y2) лежить вище дотичної М1Т1 або довести нерівність
QM2>QN або QM2-QN>0,
Але QM2-QN=[F(X2)-F(X1)]-(X2-X1)F (X1).
Застосуємо до останньої різниці [F(X2)-F(X1)] формули кінцевих приростів, С - точка між Х1 і Х2
F(X2)-F(X1)= (X2-X1)F (X1),
Тоді QM2-QN=(X2-X1)[ f (C)- f (X1)].
За умовою F (Х) зростає, значить F (C)- f (X) має той же знак, що й (С-х1), а це значить, що такий же знак й (Х2-х1), тобто QM2-QN>0, що й було потрібно довести.
Зауваження: Якщо у внутрішніх точках проміжку (A,B) друга похідна F (Х) >0, то відповідна дуга АВ лінії F(Х) увігнута нагору, якщо F (Х) <0 - то дуга АВ увігнута вниз.
Б. Точки перегину
Визначення: Якщо точка С лінії АВ, де ця лінія має дотичну СТ, служить границею двох дуг АС і СВ, звернених увігнутістю в протилежні сторони, то точка "С" називається точкою перегину лінії АВ.
Рис.3
Зауваження 1. Точка В, де лінія АCBD не має двосторонню дотичну, не вважається точкою перегину, хоча вона й служить границею дуг СВ й BD, увігнутих в протилежні сторони.
Зауваження 2. Дотична СТ, проведена через точку перегину, перетинає лінію АВ, тому що дуги АС й АВ звернені ввігнутістю в різні сторони, то одна з них повинна лежати вище дотичній, інша нижче.
Необхідна ознака точки перегину
Для того, щоб у точці С лінія F(Х) мала перегин, необхідно, щоб у відповідній точці X=C друга похідна F (Х) =0 або або не існувала. Ця точка називається Критичною точкою по другій похідній.
Правило для розшуку точокок перегину лінії Y=F(Х)
І для судження про характер її ввігнутості
Щоб знайти всі точки перегину функції Y=F(Х) у проміжку (A,B) і визначити на яких ділянках ця лінія ввігнута нагору або вниз, знадходимо в такий спосіб.
1. Знаходимо в проміжку (a, b) всі критичні точки по другій похідній. Нумеруємо їх у порядку зростання
A < C1 < C2 < ... < CN < B
Абсциси всіх точок перегину повинні утримуватися серед цих критичних точок.
2. У всіх точках проміжку (a, b), де існує кінцева друга похідна f (х), відмінна від нуля, вона зберігає незмінний знак усередині кожної з ділянок (a, c1), (c1, c2), ..., (cn, b)...
Якщо цей знак більше 0, то Y=F(Х) на цій ділянці ввігнута нагору, якщо менше 0, то ввігнута вниз.
3. Встановлюємо наявність або відсутність перегину в кожній із точок c1, c2, ..., сn. Якщо при переході через точку сi напрямок увігнутості змінюється на протилежне, а в самій точці сi лінії y=f(х) володіє дотичною (тобто перша похідна f (х) існує), то сi є точка перегину. Якщо хоча б одне із цих умов не виконано, то перегину немає.
Похожие статьи
-
Теорема 1. Похідна від функції logax дорівнює, тобто якщо y=logax, то . (11.1) Теорема 2. Похідна від sinx є cosx, тобто якщо y=sinx, то Y =cosx. (11.2)...
-
Точки розриву і їхня класифікація. Теореми про безперервні функції - Основи вищої математики
Якщо функція F така, що для неї існують межі F ( А +0) і F ( А --0), однак F ( А ) F ( А +0) F ( А --0), то, мабуть, вона нерозривна (не безперервна) у...
-
Межа функції - Основи вищої математики
Розглянемо деякі випадки зміни функції або прагнення аргументу Х до деякої межі " А " або до. Визначення 1: Нехай функція y=f(х) визначена в деякій...
-
Теорема 1. Похідна Const =0, тобто якщо Y = С, те Y =0, де С = Const . Y = С -- пряма паралельна осі ОХ й Tg =0, тобто F ( Х) =0. Теорема 2. Постійний...
-
ДИФЕРЕНЦІАЛЬНЕ ЧИСЛЕННЯ ФУНКЦІЇ ОДНІЄЇ ЗМІННОЇ, Поняття межі послідовності - Основи вищої математики
Математика алгебра геометрія тригонометрія Поняття межі послідовності Визначення : Нехай кожному натуральному числу n=1, 2, 3, ... за деяким законом...
-
Диференціал, Визначення диференціала. - Основи вищої математики
Визначення диференціала. Формули й правила диференціювання. Використання диференціала для наближених обчислень. Основні теореми диференціального...
-
Похідна. Її фізична (механічна) і геометрична інтерпретація - Основи вищої математики
І. Вважаючи, що X 0, розглянемо в даній фіксованій точці " Х " відношення приросту функції в цій точці до відповідного приросту аргументу Х . (7.1) (7.1)...
-
Безперервність функції - Основи вищої математики
Нехай функція Y = F ( Х) визначена при деякому значенні Х 0 й у деякій околиці із центром у Х 0, нехай Y 0= F ( Х 0). Якщо Х одержить деякий позитивний...
-
Асимптоти. Вертикальні й горизонтальні - Основи вищої математики
Якщо відстань ОМ від деякої точки О до точки, що Рухається, М, то Відстань О 1 М , на яку Точка М віддаляється від якої-небудь іншої нерухомої Крапки О 1...
-
Границя функції, Неперервність - Вища математика
Нехай функція визначена в деякому околі точки. Околом точки називається сукупність усіх точок таких, що віддаль О-2. (Гепрія Гейне (1821-1881)- нім....
-
Розкриття невизначеностей. Формула Тейлора - Основи вищої математики
1. Невизначеність виду 0/0. Теорема 1 ( Правило Лопіталя - Гійом 1661-1704 р., французький математик, автор першого друкованого підручника по...
-
Теорема 1. Нехай послідовності (хП) і (уП) мають відповідно границі а і b. Тоді послідовність (xN+yN) має границю а + b. Теорема 2. Нехай послідовності...
-
Функції багатьох змінних - Вища математика
Для функції однієї змінної залежна змінна, тобто функція, повністю визначається (залежить) за значенням однієї незалежної змінної. П-1. Об'єм кулі Але...
-
Похідна в економіці - Основи вищої математики
Розглянемо однофакторну або одноресурсну похідну функцію Y = F ( Х) , що дає об'єм виробленої продукції за одиницю часу залежно від об'єму Х витраченого...
-
Теореми про межі. Чудові межі - Основи вищої математики
Будемо розглядати сукупність функцій, які залежать від того самого аргументу Х , при цьому Ха або Х . Доведення проводиться для одного із цих випадків,...
-
Нескінченно мала й нескінченно велика величини - Основи вищої математики
Визначення . Змінна N , що має межу рівну 0, називається нескінченно малою величиною, якщо для кожного > 0 знайдеться n 0 таке, що | N |< ( N > N 0) ....
-
Пряма в просторі - Основи вищої математики
І. Загальне рівняння прямої Пряму в просторі найчастіше задають як перетинання двох площин І площина А 1 Х + В 1 Y + C 1 Z + D =0 ІІ площина А 2 Х + В 2...
-
Похідна функцій заданих неявно і параметрично - Основи вищої математики
І. Нехай значення двох змінних Х и Y зв'язані між собою деяким рівнянням F ( Х , Y )=0. (13.1) Якщо функція Y = F ( Х) визначена на інтервалі ( А , B )...
-
Пряма на площині. Площина в просторі - Основи вищої математики
Пряма в просторі І. Пряма на площині 1. Рівняння прямої, що проходить через дану точку перпендикулярно даному вектору Нехай на площині ХО задана точка М...
-
І. Визначення : Окружністю називається множина всіх точок площини, що перебувають на однаковій відстані, названій Радіусом , від фіксованої точки,...
-
Визначники та їх властивості - Основи вищої математики
До поняття визначника приходимо, розглядаючи системи алгебраїчних рівнянь першого степеня. Розглянемо систему рівнянь: (2.1) X та y -- невідомі,...
-
Знаходження границь та частинних похідних і диференціалів функцій двох змінних
Знаходження границь та частинних похідних і диференціалів функцій двох змінних Будь-який упорядкований набір з П Дійсних чисел Х 1 ,...,x N позначається...
-
Визначення : Алгебраїчні лінійні рівняння називаються однорідними, якщо в них вільний член дорівнює нулю. Розглянемо таку систему, що має вигляд: (10.1)...
-
Визначення : Скалярний добуток двох векторів і дорівнює добутку модулів цих векторів на косинус кута між ними . (6.1) Таким чином, скалярний добуток двох...
-
Визначення : Сукупність лінійно незалежних векторів, по яких відбувається розкладання інших векторів, називається Базисом . Отже, у площині можуть...
-
Визначення. Матриця називається оберненою матриці, якщо їх добуток, тобто рівний одиничній матриці. Якщо квадратна матриця має зворотню матрицю, то вона...
-
Рівняння, Трансцендентні рівняння - Основи вищої математики
З одним невідомим повинно бути одне, його звичайно приводять до канонічного вигляду: Приклад: Рівняння 1,2,3 ... степені і т. д. -- лінійні рівняння....
-
Матриці. Дії над матрицями Матриця вперше з'явилась в середині ХІХ століття в роботах англійських математиків У. Гамільтона і А. Келі [У. Гамільтон,...
-
І. Визначення : Мішаним добутком трьох векторів і називається добуток виду, де два перших вектори перемножуються векторно, а їхній добуток множиться...
-
: Елементарна математика, Основні поняття - Основи вищої математики
Основні поняття Визначення. Алгебраїчним виразом називається одна чи декілька алгебраїчних велечин (чисел чи букв) з'єднаних між собою знаками...
-
Нехай функція F (х) задана на відрізку [a, b] . Розіб'ємо цей відрізок на N частин точками ділення А = х0 < x1 < x2 < ... < хn = b У кожному...
-
У роботі розглядаються безперервні функції F З періодом 2p і їх наближення тригонометричними поліномами. Через Tn(x) Позначається тригонометричний...
-
Загальні властивості функцій - Функції та способи їх задання
Означення : Множина всіх значень аргумента, для яких можна обчислити значення функції, називається природною областю визначення функції. Область...
-
Частинні похідні функції двох змінних - Вища математика
Розглянемо ф-ю втрачену в деякому околі точки. 1) Зафіксуємо змінну. Дістанемо функцію однієї змінної. Якщо змінній в точці надано приріст, то отримаємо...
-
Системи лінійних алгебраїчних рівнянь - Основи вищої математики
1. Будемо розглядати систему з "m" лінійних алгебраїчних рівнянь із "n" невідомими (8.1) Рішенням такої системи називається такий набір чисел Х 1, Х 2,...
-
Визначення : Нехай дана матриця А=(mn), тоді мінором порядку "k" називають визначник, складений з елементів цієї матриці, якщо в неї викреслити (m--k)...
-
Вектори. Лінійні операції над векторами, лінійні залежності векторів - Основи вищої математики
Визначення : У фізиці Векторними величинами або Векторами називаються ті, які характеризуються не тільки їхнім числовим значенням, але й напрямком у...
-
Метод Гауса - Основи вищої математики
( Карл Фрідріх Гаус (1777-1855) іноземний член Петербурзької АН (1824), німецький математик. Праці: вища алгебра, диференціальна геометрія, математична...
-
А) Представлення у вигляді многочлена, тобто можна представити у вигляді многочлена за допомогою елементарних перетворень (приведеня подібних членів і...
-
Зв'язок між визначеним та невизначеним інтегралами Означення 2. Визначений інтеграл з постійною нижньою межею та змінною верхньою межею називають...
Дослідження функції однієї змінної за допомогою першої й другої похідних - Основи вищої математики