Дослідження функції однієї змінної за допомогою першої й другої похідних - Основи вищої математики

I. Ознаки сталості зростання й спадання функції

Теорема 1. Якщо у всіх точках проміжку A<X<B похідна F (Х) = 0, то функція F (Х) зберігає в цьому проміжку постійне значення - тобто є відрізок горизонтальної прямої.

Теорема 2. Нехай функція F(Х) безперервна в проміжку Axb. Якщо у всіх внутрішніх його точках F (Х) >0, то функція F(Х) у даному проміжку зростає.

Теорема 3. Нехай функція F(Х) безперервна на (A,B), Axb. Якщо у всіх точках, внутрішніх F (Х) <0, то функція F(Х) у даному проміжку убуває.

Умови теорем 1, 2, 3 є достатніми, а необхідними й умови 1.

II. Екстремум функції

Визначення: Говорять, що f(х) має min у точці С, якщо f(с) <f(х) у всіх точках, що лежать по обох сторонах від точки С у достатній близькості від неї. Говорять, що f(х) має max у точці С, якщо f(с) >f(х) у всіх точках, що лежать по обох сторонах від точки С у достатній близькості від неї. Максимум і мінімум поєднуються найменуванням еКстремум.

Необхідна ознака екстремума. Для того, щоб функція F(Х) мала екстремум у точці С, необхідно щоб F (Х) оберталася в нуль або, або зовсім не існувала, але ця ознака не є достатньою.

1-ша достатня ознака наявності й відсутності екстремума

Теорема 1. Якщо в деякій околиці (A,B) точки Х0 F (X)>0 ліворуч від точки Х0 й F (X)<0 праворуч від Х0, то функція F(Х) має Max.

Якщо ж у деякій околиці (A,B) точки Х0 F (X)<0 ліворуч й F (X)>0 праворуч, то F(Х) має Min.

Таким чином, для того щоб безперервна функція в точці Х0 мала екстремум, необхідно, щоб знак похідної в цій точці змінився на протилежний, у самій же точці вона може бути дорівнює 0, або не існувати.

2-га достатня ознака екстремума

Якщо функція F(Х) у критичній точці С диференційовна двічі, то можна скористатися наступною теоремою:

Теорема. Нехай у точці с f (х) функції f(х) обертається в нуль f (с) =0.

Якщо при цьому f (с) >0, то в точці с f(х) min, якщо при f (с) <0, то в точці c f(х) max.

Практичні правила

Для знаходження всіх екстремумів функції f(х) в [a, b]

Функція повинна бути безперервною в цьому проміжку [A,B], число критичних точок повинно бути обмежене, тоді для відшукання всіх Max й Min функції в [A,B]:

1. Знаходимо всі точки проміжку (A,B), де F (Х) =0, або не існує. Якщо їх ні, то немає й екстремумів, якщо вони є, нумеруємо їх у порядку зростання: A<X1<X2<...<XN<B

    2. У всіх інших точках інтервалу (A,B) існує кінцева похідна F (Х) 0. При цьому, якщо в яких-небудь 2-х точках "K,L" F (K) і F (L) є протилежні знаки, то між цими точками повинна щонайменше лежати одна критична точка. Тоді усередині кожної з ділянок (A,X1)(X1X2)...(XN-1XN)(X,K) похідна F (Х) зберігає незмінний знак. Якщо F (Х) >0, то функція на цій ділянці зростає, якщо f (Х) 3. Встановлюємо наявність екстремума або відсутність у кожній із критичних точок Х1, Х2, ..., ХN на підставі вище викладеного.

Зауваження 1. Із цього витікає, що точки Max й Min чергуються один з одним і що вони розбивають проміжок (A,B) на часткові проміжки, у кожному з яких функція F(Х) або зростає або спадає чергуючись.

Зауваження 2. Якщо функція F(Х) монотонна в деякому проміжку (M,N), то при будь-якому подовженні цього проміжку втрачає монотонності (або зовсім губить зміст), то говорять, що (M,N) є Проміжок Монотонності функції F(Х). Таким чином, точки екстремума функції F(Х), заданої на (A,B), розбивають його на проміжки монотонності функції F(Х).

Зауваження 3. У процесі відшукання екстремумів корисно заносити результати дослідження в таблицю.

III. Інтервали опуклості й ввігнутості. Точки перегину

А. Характер опуклості

Визначення: Говорять, що дуга АВ функції y=f(х) увігнута нагору, якщо всі точки цієї дуги лежать вище будь-якій її дотичній МТ, і ввігнута СD униз, якщо всі точки лежать нижче будь-якої дотичної.

Рис.1

Теорема: Для того, щоб дуга АВ лінії Y=F(Х) була ввігнута нагору (униз), Необхідно Й Досить, Щоб Похідна F (Х) У відповідному проміжку зростала (спадала).

Рис.2

Доказ: Необхідність ознаки. Нехай дана дуга АВ, увігнута нагору. Візьмемо в проміжку (A,B) дві довільні точки Х1 і Х2. Проведемо М1Т1 і М2Т2 і М1Q і М2 вище М1, QM2>QN

QM2=F(X2)-F(X1) : QN=M1Q =M1Q F (X1)=(X2-X1) F (X1);

Але F(X2)-F(X1)>(X2-X1)F (X1) : (X2-X1)

,

Тобто кутовий коефіцієнт М1М2 більше кутового коефіцієнта дотичної М1Т1.

Тому що точки взяті довільно, те й Х1 і Х2 можна поміняти місцями

F(X1)-F(X2)>(X1-X2)F (X2) : (X1-X2) [але (X1-X2)<0]

То одержимо

або,

Тобто F (X2) > f (X1). Тому що точки взяті довільно, то остання нерівність означає, що похідна F (Х) зростає в проміжку (A,B). Аналогічно доводиться, що якщо дуга АВ увігнута вниз, то похідна F (Х) убуває в (A,B).

Достатня ознака. Нехай похідна F (Х) зростає в проміжку (A,B), і нехай Х1 і Х2 дві довільно взяті точки цього проміжку. Потрібно довести, що точка М2(Х2,Y2) лежить вище дотичної М1Т1 або довести нерівність

QM2>QN або QM2-QN>0,

Але QM2-QN=[F(X2)-F(X1)]-(X2-X1)F (X1).

Застосуємо до останньої різниці [F(X2)-F(X1)] формули кінцевих приростів, С - точка між Х1 і Х2

F(X2)-F(X1)= (X2-X1)F (X1),

Тоді QM2-QN=(X2-X1)[ f (C)- f (X1)].

За умовою F (Х) зростає, значить F (C)- f (X) має той же знак, що й (С-х1), а це значить, що такий же знак й (Х2-х1), тобто QM2-QN>0, що й було потрібно довести.

Зауваження: Якщо у внутрішніх точках проміжку (A,B) друга похідна F (Х) >0, то відповідна дуга АВ лінії F(Х) увігнута нагору, якщо F (Х) <0 - то дуга АВ увігнута вниз.

Б. Точки перегину

Визначення: Якщо точка С лінії АВ, де ця лінія має дотичну СТ, служить границею двох дуг АС і СВ, звернених увігнутістю в протилежні сторони, то точка "С" називається точкою перегину лінії АВ.

Рис.3

Зауваження 1. Точка В, де лінія АCBD не має двосторонню дотичну, не вважається точкою перегину, хоча вона й служить границею дуг СВ й BD, увігнутих в протилежні сторони.

Зауваження 2. Дотична СТ, проведена через точку перегину, перетинає лінію АВ, тому що дуги АС й АВ звернені ввігнутістю в різні сторони, то одна з них повинна лежати вище дотичній, інша нижче.

Необхідна ознака точки перегину

Для того, щоб у точці С лінія F(Х) мала перегин, необхідно, щоб у відповідній точці X=C друга похідна F (Х) =0 або або не існувала. Ця точка називається Критичною точкою по другій похідній.

Правило для розшуку точокок перегину лінії Y=F(Х)

І для судження про характер її ввігнутості

Щоб знайти всі точки перегину функції Y=F(Х) у проміжку (A,B) і визначити на яких ділянках ця лінія ввігнута нагору або вниз, знадходимо в такий спосіб.

1. Знаходимо в проміжку (a, b) всі критичні точки по другій похідній. Нумеруємо їх у порядку зростання

A < C1 < C2 < ... < CN < B

Абсциси всіх точок перегину повинні утримуватися серед цих критичних точок.

2. У всіх точках проміжку (a, b), де існує кінцева друга похідна f (х), відмінна від нуля, вона зберігає незмінний знак усередині кожної з ділянок (a, c1), (c1, c2), ..., (cn, b)...

Якщо цей знак більше 0, то Y=F(Х) на цій ділянці ввігнута нагору, якщо менше 0, то ввігнута вниз.

3. Встановлюємо наявність або відсутність перегину в кожній із точок c1, c2, ..., сn. Якщо при переході через точку сi напрямок увігнутості змінюється на протилежне, а в самій точці сi лінії y=f(х) володіє дотичною (тобто перша похідна f (х) існує), то сi є точка перегину. Якщо хоча б одне із цих умов не виконано, то перегину немає.

Похожие статьи




Дослідження функції однієї змінної за допомогою першої й другої похідних - Основи вищої математики

Предыдущая | Следующая