Похідна логарифмічної функції. Похідні тригонометричних функцій, Похідні: оберененої, показникової і оберненої тригонометричної функції, а також логарифмичної і степеневої функцій - Основи вищої математики

Теорема 1. Похідна від функції logax дорівнює, тобто якщо y=logax, то

. (11.1)

Теорема 2. Похідна від sinx є cosx, тобто якщо y=sinx, то

Y =cosx. (11.2)

Доказ:

Y+Y=Sin(X+X); тоді

Y=Sin(X+X)--

Sinx= ,

Що й було потрібно довести.

Теорема 3. Похідна від cosx є --sinx, тобто якщо y=cosx, те

Y = --sinx. (11.3)

Теорема 4. Похідна від функції tgх дорівнює, тобто якщо y=tgх, то

. (11.4)

Доказ:

Оскільки

,

То,

Що й було потрібно довести.

(Tgx)=1+Tg2X.

Теорема 5. Похідна від функції ctgх дорівнює, тобто якщо y=ctgх, то

, (11.5)

(Ctgx)= --(1+Ctg2X).

Похідні: оберененої, показникової і оберненої тригонометричної функції, а також логарифмичної і степеневої функцій

Теорема 1. Нехай функция F(Х) в деякій Околиці точки "Х0" зростає (чи спадає) і є неперервною. Нехай, крім того, функція Y = F(Х) має похідну F (Х0) відмінну від нуля. Тоді обернена функція Х = F -1(Y) визначена в деякій околиці відповідної точки Y0=F(Х0) і має похідну рівную

. (12.1)

Доведення. Зауважимо, що для функції Y=F(Х) існує обернена функція Х = F -1(Y), визначена в деякій околиці точки Y0=F(Х0) і непервна в цій околиці. Надамо аргументу "Y" цієї зворотньої функції в точці "Y0" довільного приросту відмінного від нуля Y.

Цьому приросту відповідає приріст Х зворотньої функції Х = F -1(Y), причому в силу зростання (спадання) функції Х0. Таким чином ми маєм право написати наступну тотожність:

. (12.2)

Нехай тепер в цьому виразі (12.2) Y0, тоді в силу неперервності зворотньої функції в точці Y0 і відповідно різницевій формі умови неперервності і Х0. Але при Х0 знаменник дробу в правій частині (12.2) за визначенням похідної має граничне значення значення F (X0)0. Тоді права частина в межі буде 1/F (Х0). Але тоді і ліва частина при Y0 має граничне значення, яке рівне {F -1(Y0)}.

Отже ми отримали в точці Y0 для її похідної співвідношення

,

Що і треба було довести.

Геометричний зміст цього. Графік функції Y=F(Х), точці Х0 відповідає на графіку точка М, тоді F (Х0) = Tg, а похідна {F -1(Y0)}=Tg, т. к. +=/2, то

.

ІІ. Похідна показникової функції.

Показникова функція Y=АХ будучи визначеною на бескінечній прямій, є зворотньою для логарифмічної функції Х=LogAY, визначеної на півпрямій Y>0. Тоді згідно теореми про зворотню функцію, функція Y=АХ, де в будь-якій точці Х=LogAY має похідну

, тоді остаточно

(AX) =AXLna. (12.3)

Якщо А=E, то

(ЕХ) =ЕХ. (12.4)

ІІІ. Похідні зворотніх тригонометричних функцій.

Y=Arcsinх в інтервале -1<Х<+1 зворотня для функції Х=Siny в інтервалі -/2<Y+/2. Тоді згідно теореми про зворотню функцію

, (12.5)

Аналогічне виведення і для Arccosх=Y

. (12.6)

. (12.7)

. (12.8)

IV. Поняття логарифмічної похідної функції.

Нехай функція Y=F(Х) додатня, тоді в цій точці існує Lny=Lnf(X).

Розглядаючи Lnf(Х) як складну функцію аргумента Х, ми можемо обчислити похідну цієї функції в точці Х, приймаючи Y=F(Х) за проміжний аргумент. Тоді отримаєм

. (12.9)

Величина, яка визначається цією формулою, називається Логарифмічною Похідною функції Y=F(Х) в даній точці "Х".

Приклад: Розглянемо степенево-показникову функцію Y=U(Х)V(Х) шляхом обчислення логарифмічної похідної. Тоді Lny=V(Х)Lnu(Х). Звідси

.

Звідки

. (12.10)

V. Похідна степеневої функції з будь-яким дійсним показником.

Нехай функція Y=Х, де -- довільний дійсний показник. Будемо обчислювати для значення Х, що належать напівпрямій Х>0, маючи на увазі, що y=Х>0, тоді Lny=Lnx

Або

Y = (Х) = х --1. (12.11)

VI. Таблиця похідних найпростіших елементарних функцій.

    1. (x)=X--1. 9. . 2. . 10. . 3. (AX)= aXLna. 11. . 4. (Sinx) =Cosx. 12. (Shx) =Chx. 5. (Cosx) = --Sinx. 13. (Chx) =Shx. 6. . 14. . 7. . 15. . 8. .

Тепер ми можемо стверджувати, що похідна будь-якої елементарної функції являє собою також елементарну функцію.

Похожие статьи




Похідна логарифмічної функції. Похідні тригонометричних функцій, Похідні: оберененої, показникової і оберненої тригонометричної функції, а також логарифмичної і степеневої функцій - Основи вищої математики

Предыдущая | Следующая