Похідна логарифмічної функції. Похідні тригонометричних функцій, Похідні: оберененої, показникової і оберненої тригонометричної функції, а також логарифмичної і степеневої функцій - Основи вищої математики
Теорема 1. Похідна від функції logax дорівнює, тобто якщо y=logax, то
. (11.1)
Теорема 2. Похідна від sinx є cosx, тобто якщо y=sinx, то
Y =cosx. (11.2)
Доказ:
Y+Y=Sin(X+X); тоді
Y=Sin(X+X)--
Sinx= ,
Що й було потрібно довести.
Теорема 3. Похідна від cosx є --sinx, тобто якщо y=cosx, те
Y = --sinx. (11.3)
Теорема 4. Похідна від функції tgх дорівнює, тобто якщо y=tgх, то
. (11.4)
Доказ:
Оскільки
,
То,
Що й було потрібно довести.
(Tgx)=1+Tg2X.
Теорема 5. Похідна від функції ctgх дорівнює, тобто якщо y=ctgх, то
, (11.5)
(Ctgx)= --(1+Ctg2X).
Похідні: оберененої, показникової і оберненої тригонометричної функції, а також логарифмичної і степеневої функцій
Теорема 1. Нехай функция F(Х) в деякій Околиці точки "Х0" зростає (чи спадає) і є неперервною. Нехай, крім того, функція Y = F(Х) має похідну F (Х0) відмінну від нуля. Тоді обернена функція Х = F -1(Y) визначена в деякій околиці відповідної точки Y0=F(Х0) і має похідну рівную
. (12.1)
Доведення. Зауважимо, що для функції Y=F(Х) існує обернена функція Х = F -1(Y), визначена в деякій околиці точки Y0=F(Х0) і непервна в цій околиці. Надамо аргументу "Y" цієї зворотньої функції в точці "Y0" довільного приросту відмінного від нуля Y.
Цьому приросту відповідає приріст Х зворотньої функції Х = F -1(Y), причому в силу зростання (спадання) функції Х0. Таким чином ми маєм право написати наступну тотожність:
. (12.2)
Нехай тепер в цьому виразі (12.2) Y0, тоді в силу неперервності зворотньої функції в точці Y0 і відповідно різницевій формі умови неперервності і Х0. Але при Х0 знаменник дробу в правій частині (12.2) за визначенням похідної має граничне значення значення F (X0)0. Тоді права частина в межі буде 1/F (Х0). Але тоді і ліва частина при Y0 має граничне значення, яке рівне {F -1(Y0)}.
Отже ми отримали в точці Y0 для її похідної співвідношення
,
Що і треба було довести.
Геометричний зміст цього. Графік функції Y=F(Х), точці Х0 відповідає на графіку точка М, тоді F (Х0) = Tg, а похідна {F -1(Y0)}=Tg, т. к. +=/2, то
.
ІІ. Похідна показникової функції.
Показникова функція Y=АХ будучи визначеною на бескінечній прямій, є зворотньою для логарифмічної функції Х=LogAY, визначеної на півпрямій Y>0. Тоді згідно теореми про зворотню функцію, функція Y=АХ, де в будь-якій точці Х=LogAY має похідну
, тоді остаточно
(AX) =AXLna. (12.3)
Якщо А=E, то
(ЕХ) =ЕХ. (12.4)
ІІІ. Похідні зворотніх тригонометричних функцій.
Y=Arcsinх в інтервале -1<Х<+1 зворотня для функції Х=Siny в інтервалі -/2<Y+/2. Тоді згідно теореми про зворотню функцію
, (12.5)
Аналогічне виведення і для Arccosх=Y
. (12.6)
. (12.7)
. (12.8)
IV. Поняття логарифмічної похідної функції.
Нехай функція Y=F(Х) додатня, тоді в цій точці існує Lny=Lnf(X).
Розглядаючи Lnf(Х) як складну функцію аргумента Х, ми можемо обчислити похідну цієї функції в точці Х, приймаючи Y=F(Х) за проміжний аргумент. Тоді отримаєм
. (12.9)
Величина, яка визначається цією формулою, називається Логарифмічною Похідною функції Y=F(Х) в даній точці "Х".
Приклад: Розглянемо степенево-показникову функцію Y=U(Х)V(Х) шляхом обчислення логарифмічної похідної. Тоді Lny=V(Х)Lnu(Х). Звідси
.
Звідки
. (12.10)
V. Похідна степеневої функції з будь-яким дійсним показником.
Нехай функція Y=Х, де -- довільний дійсний показник. Будемо обчислювати для значення Х, що належать напівпрямій Х>0, маючи на увазі, що y=Х>0, тоді Lny=Lnx
Або
Y = (Х) = х --1. (12.11)
VI. Таблиця похідних найпростіших елементарних функцій.
- 1. (x)=X--1. 9. . 2. . 10. . 3. (AX)= aXLna. 11. . 4. (Sinx) =Cosx. 12. (Shx) =Chx. 5. (Cosx) = --Sinx. 13. (Chx) =Shx. 6. . 14. . 7. . 15. . 8. .
Тепер ми можемо стверджувати, що похідна будь-якої елементарної функції являє собою також елементарну функцію.
Похожие статьи
-
Дослідження функції однієї змінної за допомогою першої й другої похідних - Основи вищої математики
I. Ознаки сталості зростання й спадання функції Теорема 1. Якщо у всіх точках проміжку A < X < B похідна F ( Х) = 0, то функція F ( Х) зберігає в...
-
Похідна функцій заданих неявно і параметрично - Основи вищої математики
І. Нехай значення двох змінних Х и Y зв'язані між собою деяким рівнянням F ( Х , Y )=0. (13.1) Якщо функція Y = F ( Х) визначена на інтервалі ( А , B )...
-
Теорема 1. Похідна Const =0, тобто якщо Y = С, те Y =0, де С = Const . Y = С -- пряма паралельна осі ОХ й Tg =0, тобто F ( Х) =0. Теорема 2. Постійний...
-
Похідна. Її фізична (механічна) і геометрична інтерпретація - Основи вищої математики
І. Вважаючи, що X 0, розглянемо в даній фіксованій точці " Х " відношення приросту функції в цій точці до відповідного приросту аргументу Х . (7.1) (7.1)...
-
Точки розриву і їхня класифікація. Теореми про безперервні функції - Основи вищої математики
Якщо функція F така, що для неї існують межі F ( А +0) і F ( А --0), однак F ( А ) F ( А +0) F ( А --0), то, мабуть, вона нерозривна (не безперервна) у...
-
Межа функції - Основи вищої математики
Розглянемо деякі випадки зміни функції або прагнення аргументу Х до деякої межі " А " або до. Визначення 1: Нехай функція y=f(х) визначена в деякій...
-
Розкриття невизначеностей. Формула Тейлора - Основи вищої математики
1. Невизначеність виду 0/0. Теорема 1 ( Правило Лопіталя - Гійом 1661-1704 р., французький математик, автор першого друкованого підручника по...
-
Теорема 1. Нехай послідовності (хП) і (уП) мають відповідно границі а і b. Тоді послідовність (xN+yN) має границю а + b. Теорема 2. Нехай послідовності...
-
Диференціал, Визначення диференціала. - Основи вищої математики
Визначення диференціала. Формули й правила диференціювання. Використання диференціала для наближених обчислень. Основні теореми диференціального...
-
Безперервність функції - Основи вищої математики
Нехай функція Y = F ( Х) визначена при деякому значенні Х 0 й у деякій околиці із центром у Х 0, нехай Y 0= F ( Х 0). Якщо Х одержить деякий позитивний...
-
Похідна в економіці - Основи вищої математики
Розглянемо однофакторну або одноресурсну похідну функцію Y = F ( Х) , що дає об'єм виробленої продукції за одиницю часу залежно від об'єму Х витраченого...
-
Асимптоти. Вертикальні й горизонтальні - Основи вищої математики
Якщо відстань ОМ від деякої точки О до точки, що Рухається, М, то Відстань О 1 М , на яку Точка М віддаляється від якої-небудь іншої нерухомої Крапки О 1...
-
Границя функції, Неперервність - Вища математика
Нехай функція визначена в деякому околі точки. Околом точки називається сукупність усіх точок таких, що віддаль О-2. (Гепрія Гейне (1821-1881)- нім....
-
ДИФЕРЕНЦІАЛЬНЕ ЧИСЛЕННЯ ФУНКЦІЇ ОДНІЄЇ ЗМІННОЇ, Поняття межі послідовності - Основи вищої математики
Математика алгебра геометрія тригонометрія Поняття межі послідовності Визначення : Нехай кожному натуральному числу n=1, 2, 3, ... за деяким законом...
-
Функції багатьох змінних - Вища математика
Для функції однієї змінної залежна змінна, тобто функція, повністю визначається (залежить) за значенням однієї незалежної змінної. П-1. Об'єм кулі Але...
-
Знаходження границь та частинних похідних і диференціалів функцій двох змінних
Знаходження границь та частинних похідних і диференціалів функцій двох змінних Будь-який упорядкований набір з П Дійсних чисел Х 1 ,...,x N позначається...
-
Аргумент, функція, похідна - Математичний аналіз
Різниця між двома аргументами називається приростом аргументу. Приростом функції називається різниця між двома значеннями функції. Нехай в деякому околі...
-
І. Визначення : Окружністю називається множина всіх точок площини, що перебувають на однаковій відстані, названій Радіусом , від фіксованої точки,...
-
Нескінченно мала й нескінченно велика величини - Основи вищої математики
Визначення . Змінна N , що має межу рівну 0, називається нескінченно малою величиною, якщо для кожного > 0 знайдеться n 0 таке, що | N |< ( N > N 0) ....
-
Пряма в просторі - Основи вищої математики
І. Загальне рівняння прямої Пряму в просторі найчастіше задають як перетинання двох площин І площина А 1 Х + В 1 Y + C 1 Z + D =0 ІІ площина А 2 Х + В 2...
-
Пряма на площині. Площина в просторі - Основи вищої математики
Пряма в просторі І. Пряма на площині 1. Рівняння прямої, що проходить через дану точку перпендикулярно даному вектору Нехай на площині ХО задана точка М...
-
Теореми про межі. Чудові межі - Основи вищої математики
Будемо розглядати сукупність функцій, які залежать від того самого аргументу Х , при цьому Ха або Х . Доведення проводиться для одного із цих випадків,...
-
Частинні похідні функції двох змінних - Вища математика
Розглянемо ф-ю втрачену в деякому околі точки. 1) Зафіксуємо змінну. Дістанемо функцію однієї змінної. Якщо змінній в точці надано приріст, то отримаємо...
-
Загальні властивості функцій - Функції та способи їх задання
Означення : Множина всіх значень аргумента, для яких можна обчислити значення функції, називається природною областю визначення функції. Область...
-
Нехай функція F (х) задана на відрізку [a, b] . Розіб'ємо цей відрізок на N частин точками ділення А = х0 < x1 < x2 < ... < хn = b У кожному...
-
Зв'язок між визначеним та невизначеним інтегралами Означення 2. Визначений інтеграл з постійною нижньою межею та змінною верхньою межею називають...
-
А) Представлення у вигляді многочлена, тобто можна представити у вигляді многочлена за допомогою елементарних перетворень (приведеня подібних членів і...
-
Визначення : Сукупність лінійно незалежних векторів, по яких відбувається розкладання інших векторів, називається Базисом . Отже, у площині можуть...
-
Визначення. Матриця називається оберненою матриці, якщо їх добуток, тобто рівний одиничній матриці. Якщо квадратна матриця має зворотню матрицю, то вона...
-
У цьому параграфі встановлюється, що якщо тригонометричний поліном Tn(x) Близький до заданої функції F , то його модулі безперервності можна оцінити...
-
У роботі розглядаються безперервні функції F З періодом 2p і їх наближення тригонометричними поліномами. Через Tn(x) Позначається тригонометричний...
-
У цьому параграфі узагальнюються і уточнюються так звані "зворотні теореми" теорії наближення. Мова йде про оцінці диференціальних властивостей функції f...
-
Дипломна робота присвячена дослідженню якнайкращих наближень безперервних періодичних функцій тригонометричними поліномами. У ній даються необхідні і...
-
Правила диференціювання - Математичний аналіз
Операція знаходження похідної від даної функції називається диференціюванням цієї функції. Доведемо ряд теорем, які дають основні правила знаходження...
-
Використання поняття похідної в економіці Розглянемо задачу про продуктивність праці. Нехай функція и = и(t) відображає кількість виробленої продукції u...
-
Визначники та їх властивості - Основи вищої математики
До поняття визначника приходимо, розглядаючи системи алгебраїчних рівнянь першого степеня. Розглянемо систему рівнянь: (2.1) X та y -- невідомі,...
-
І. Визначення : Мішаним добутком трьох векторів і називається добуток виду, де два перших вектори перемножуються векторно, а їхній добуток множиться...
-
Визначення : Алгебраїчні лінійні рівняння називаються однорідними, якщо в них вільний член дорівнює нулю. Розглянемо таку систему, що має вигляд: (10.1)...
-
Метод Гауса - Основи вищої математики
( Карл Фрідріх Гаус (1777-1855) іноземний член Петербурзької АН (1824), німецький математик. Праці: вища алгебра, диференціальна геометрія, математична...
-
Визначення : Скалярний добуток двох векторів і дорівнює добутку модулів цих векторів на косинус кута між ними . (6.1) Таким чином, скалярний добуток двох...
Похідна логарифмічної функції. Похідні тригонометричних функцій, Похідні: оберененої, показникової і оберненої тригонометричної функції, а також логарифмичної і степеневої функцій - Основи вищої математики