Деякі допоміжні визначення - Дослідження якнайкращих наближень безперервних періодичних функцій тригонометричними поліномами

У роботі розглядаються безперервні функції F З періодом 2p і їх наближення тригонометричними поліномами. Через Tn(x) Позначається тригонометричний поліном порядку не вище N, а через Tn*(x)=tN*(X, f)-тригонометрический поліном, що найменш ухиляється від F Серед всіх Tn(x). Ми вважаємо і пишемо

Введемо ряд визначень.

Визначення 1. При кожному фіксованому класом Ліпшиця порядку А Називається множина всіх безперервних функція F, модуль безперервності кожною з яких задовольняє умові

Де С8-какая-нібудь Позитивна постійна, яка не залежить від D І яка, взагалі кажучи, є різною для різних функцій. Цей клас позначається Ha або Lip а.

Визначення 2. Позначимо при фіксованому натуральному R Через W(r)L Клас функцій F, яка має абсолютно безперервні похідні до (R-1) Порядку і у якої R-я Похідна належить класу L.

Визначення 3. Для безперервної на [А, b] функції F (x) Назвемо Модулем безперервності першого порядку Або ж просто модулем безперервності функцію W(d)=w(F;d), визначену на [0, b-a] за допомогою наступної рівності:

(1.1)

Або, що те ж саме

(1.1')

Властивості модуля безперервності:

W(0)=0;

W(d) є функція, що монотонно зростає;

W(d) є функція безперервна;

W(d) є функція напіваддитивна в тому сенсі, що для будь-яких і

(1.2)

Доказ. Властивість 1) витікає з визначення модуля безперервності.

Властивість 2) витікає з того, що при великих D Нам доводиться розглядати Sup на ширшій безлічі значень H. Властивість 4) виходить з того, що якщо ми число представимо у вигляді H=h1+h2 і то отримаємо

З нерівності (1.2) витікає, що якщо то

тобто

(1.3)

Тепер доведемо властивість 3). Оскільки функція F (x) Рівномірно безперервна на [А, b], то при і, отже, для будь-яких D

при

А це і означає, що функція W(d) безперервна.

Визначення 4. Хай функція F (x) Визначена на сегменті [А, b]. Тоді для будь-якого натурального До І будь-яких і H>0 таких, що К-й різницею функції f в точці x з кроком h Називається величина

(1.4)

А при і H>0 таких, що К-й симетричною різницею - Величина

(1.4')

Лема 1. При будь-яких натуральних J І До Справедливо рівність

(1.5)

Доказ. Дійсно, оскільки при будь-якому натуральному До

То

Лема доведена.

Лема 2. При будь-яких натуральних До І N Вірна формула:

(1.6)

Доказ. Скористаємося індукцією по До. При K=1 тотожність (1.6) перевіряється безпосередньо:

.

Припускаючи його справедливість при K-1 (kі2), отримаємо

Лема доведена.

Визначення 5. Якщо вимірна періоду (B-a) функція F(x)Оlq (Lq-класс всіх речових вимірних на [А, b] функції F(x)), то під її інтегральним модулем гладкості порядку Kі1 розуміють функцію

Лема 3. Якщо то справедливо

(1.7)

Доказ. Насправді

І так далі. Лема доведена.

Визначення 6. Якщо функція F(x) обмежена на [А, b], то під її Модулем гладкості Порядку Kі1 Розуміють функцію

Задану для ненегативних значень і у разі, коли K=1, що є модулем безперервності.

Властивості модулів гладкості:

є функція, що монотонно зростає;

є функція безперервна;

При будь-якому натуральному N Має місце ( точне) нерівність

(1.8)

А при будь-якому - неравенство

(1.8)

5) Якщо функція F(x) Має усюди на [А, b] безперервні похідні до (R-1) -го порядку, і при цьому (R-1) - а похідна то

(1.9)

Доказ. 1) Властивість 1) негайно витікає з того, що

    2) Властивість 2) доводиться точно так, як і для випадку звичайного модуля безперервності. 3) Припускаючи для визначеності, що D>d', отримаємо

Цим безперервність функції Wk(d) Доведена.

Використовуючи рівність лему 2 §1, маємо

Цим нерівність (1.8) доведена. Нерівність (1.8') виходить з монотонності функції Wk(t) І нерівності (1.8).

Використовуючи рівність лему 1 і лему 3 §1, отримаємо

Визначення 7. Хай К-натуральное число. Говоритимемо, що функція є модуль безперервності К-го порядку функції F, якщо

Де - кінцева різниця функції F к-го порядку з кроком H:

Серед модулів безперервності всіх порядків особливо важливе значення мають випадки K=1 і K=2. Випадок K=1 Є класичним; замість ми писатимемо просто і називати цю функцію Модулем безперервності; функцію ми називатимемо Модулем гладкості.

Визначення 8. Задамо натуральне число До. Говоритимемо, що функція - є функція порівняння К-го порядку, якщо вона задовольняє наступним умовам:

визначена для _

не убуває

,

Неважко показати, що якщо F Є 0, то є функція порівняння К-го порядку (див. Лему 5 §2).

Визначення 9. Зафіксуємо натуральне число До І функцію порівняння К-го порядку. Говоритимемо, що функція F Належить до класу якщо знайдеться константа С10>0 Така, що

Замість писатимемо просто Hka.

Якщо для послідовності функцій {Fn} (n=1,2...)

Де С10 Не залежить від N, то писатимемо: рівномірно відносно N.

Поняття класів є природним узагальненням класів Ліпшиця і класів функцій, що мають обмежену К-ю похідну.

Визначення 10. Зафіксуємо число A>0 і позначимо через P Найменше натуральне число, не менше ніж А (P=-[- А]). Говоритимемо, що функція належить до класу якщо вона

    1) є функція порівняння P-го порядку і 2) задовольняє умові: існує константа С11>0 Така, що для

Умова 2) є невеликим ослабленням умови " не убуває". Функції класу Na гратимуть основну роль у всьому подальшому викладі.

Визначення 11. Говоритимемо, що функція має порядок якщо знайдуться дві позитивні константи С12 І С13 Такі, що для всіх T, для яких визначені функції і _

.

При виконанні цих умов писатимемо

.

Визначення 12. Ядром Дирихле N-го порядку називається функція

(1.10)

Це ядро є тригонометричним поліномом порядку N І при цьому

(1.10')

Визначення 13. Ядром фейєра N-го порядку називається функція

(1.11)

Ядро фейєра Fn(t) Є середнім арифметичним перших N Ядер Дирихле, і означає, є тригонометричним поліномом порядку (N-1). Отже має місце рівність

(1.11')

(1.11')

Де Dk(t) -ядра Дирихле.

Визначення 14. Ядром Джексона N-го порядку називається функція

(1.12)

Властивості ядер Джексона.

А) При кожному N Ядро Jn(t) Є парним ненегативним тригонометричним поліномом порядка 2n-2 види

,

Де Jk=jk(n) - деякі числа

    Б) В) Г)

Доказ.

А) Враховуючи, що для ядер Fn(t) Фейєра має місце рівність

отримаємо

Де Jk(K=1,2...,2n-2) - некоторые числа, і зокрема, через ортогональности тригонометричної системи функцій знайдемо

Цим властивість а) доведено.

    Б) Ця рівність виходить з рівності, отриманої для J0. В) Оскільки при будь-якому і при (**)то Г) Абсолютно аналогічно злучаю в) отримаємо

Що і потрібно було довести.

Визначення 15. Ядром типу Джексона порядку N Називається функція

, (1.13)

N=1,2,3...,k-натуральное, де

(1.13')

Ядра типу Джексона володіють наступними властивостями:

    А) Б) При фіксованому натуральному До І довільному N Ядро Jn, k(t)

Є парним ненегативним тригонометричним поліномом порядку До(N-1)

    В) N2k-1, тобто існують постійні С14>0 І С15>0, такі, що при всіх N=1,2,3... Буде Г) При будь-якому s>0 має місце нерівність Д) При будь-якому натуральному

Доказ властивостей ядер типу Джексона.

    А) Ця властивість витікає з рівності визначення Б) Ця властивість виходить з 1-ої нерівності визначення і з того, що через рівність (1.11) і (1.11') буде

(1.14)

Де - деякі цілі числа.

    В) Враховуючи нерівності (**), матимемо (1.15)

З іншого боку

(1.15')

    Г) Ця нерівність витікає з першої рівності визначення і нерівності (1.15') Д) Дійсно, з одного боку, через нерівності (1.15') і (**)

(1.16)

Де A-const, а з іншого боку, враховуючи співвідношення (1.15), нерівностей (**) і з нерівності sintЈt, при всіх Tі0 (***), маємо

(1.16')

A1-const. Нерівності (1.16) і (1.16') рівносильні умові, що і потрібно було довести.

Похожие статьи




Деякі допоміжні визначення - Дослідження якнайкращих наближень безперервних періодичних функцій тригонометричними поліномами

Предыдущая | Следующая