Деякі допоміжні визначення - Дослідження якнайкращих наближень безперервних періодичних функцій тригонометричними поліномами
У роботі розглядаються безперервні функції F З періодом 2p і їх наближення тригонометричними поліномами. Через Tn(x) Позначається тригонометричний поліном порядку не вище N, а через Tn*(x)=tN*(X, f)-тригонометрический поліном, що найменш ухиляється від F Серед всіх Tn(x). Ми вважаємо і пишемо
Введемо ряд визначень.
Визначення 1. При кожному фіксованому класом Ліпшиця порядку А Називається множина всіх безперервних функція F, модуль безперервності кожною з яких задовольняє умові
Де С8-какая-нібудь Позитивна постійна, яка не залежить від D І яка, взагалі кажучи, є різною для різних функцій. Цей клас позначається Ha або Lip а.
Визначення 2. Позначимо при фіксованому натуральному R Через W(r)L Клас функцій F, яка має абсолютно безперервні похідні до (R-1) Порядку і у якої R-я Похідна належить класу L.
Визначення 3. Для безперервної на [А, b] функції F (x) Назвемо Модулем безперервності першого порядку Або ж просто модулем безперервності функцію W(d)=w(F;d), визначену на [0, b-a] за допомогою наступної рівності:
(1.1)
Або, що те ж саме
(1.1')
Властивості модуля безперервності:
W(0)=0;
W(d) є функція, що монотонно зростає;
W(d) є функція безперервна;
W(d) є функція напіваддитивна в тому сенсі, що для будь-яких і
(1.2)
Доказ. Властивість 1) витікає з визначення модуля безперервності.
Властивість 2) витікає з того, що при великих D Нам доводиться розглядати Sup на ширшій безлічі значень H. Властивість 4) виходить з того, що якщо ми число представимо у вигляді H=h1+h2 і то отримаємо
З нерівності (1.2) витікає, що якщо то
тобто
(1.3)
Тепер доведемо властивість 3). Оскільки функція F (x) Рівномірно безперервна на [А, b], то при і, отже, для будь-яких D
при
А це і означає, що функція W(d) безперервна.
Визначення 4. Хай функція F (x) Визначена на сегменті [А, b]. Тоді для будь-якого натурального До І будь-яких і H>0 таких, що К-й різницею функції f в точці x з кроком h Називається величина
(1.4)
А при і H>0 таких, що К-й симетричною різницею - Величина
(1.4')
Лема 1. При будь-яких натуральних J І До Справедливо рівність
(1.5)
Доказ. Дійсно, оскільки при будь-якому натуральному До
То
Лема доведена.
Лема 2. При будь-яких натуральних До І N Вірна формула:
(1.6)
Доказ. Скористаємося індукцією по До. При K=1 тотожність (1.6) перевіряється безпосередньо:
.
Припускаючи його справедливість при K-1 (kі2), отримаємо
Лема доведена.
Визначення 5. Якщо вимірна періоду (B-a) функція F(x)Оlq (Lq-класс всіх речових вимірних на [А, b] функції F(x)), то під її інтегральним модулем гладкості порядку Kі1 розуміють функцію
Лема 3. Якщо то справедливо
(1.7)
Доказ. Насправді
І так далі. Лема доведена.
Визначення 6. Якщо функція F(x) обмежена на [А, b], то під її Модулем гладкості Порядку Kі1 Розуміють функцію
Задану для ненегативних значень і у разі, коли K=1, що є модулем безперервності.
Властивості модулів гладкості:
є функція, що монотонно зростає;
є функція безперервна;
При будь-якому натуральному N Має місце ( точне) нерівність
(1.8)
А при будь-якому - неравенство
(1.8)
5) Якщо функція F(x) Має усюди на [А, b] безперервні похідні до (R-1) -го порядку, і при цьому (R-1) - а похідна то
(1.9)
Доказ. 1) Властивість 1) негайно витікає з того, що
- 2) Властивість 2) доводиться точно так, як і для випадку звичайного модуля безперервності. 3) Припускаючи для визначеності, що D>d', отримаємо
Цим безперервність функції Wk(d) Доведена.
Використовуючи рівність лему 2 §1, маємо
Цим нерівність (1.8) доведена. Нерівність (1.8') виходить з монотонності функції Wk(t) І нерівності (1.8).
Використовуючи рівність лему 1 і лему 3 §1, отримаємо
Визначення 7. Хай К-натуральное число. Говоритимемо, що функція є модуль безперервності К-го порядку функції F, якщо
Де - кінцева різниця функції F к-го порядку з кроком H:
Серед модулів безперервності всіх порядків особливо важливе значення мають випадки K=1 і K=2. Випадок K=1 Є класичним; замість ми писатимемо просто і називати цю функцію Модулем безперервності; функцію ми називатимемо Модулем гладкості.
Визначення 8. Задамо натуральне число До. Говоритимемо, що функція - є функція порівняння К-го порядку, якщо вона задовольняє наступним умовам:
визначена для _
не убуває
,
Неважко показати, що якщо F Є 0, то є функція порівняння К-го порядку (див. Лему 5 §2).
Визначення 9. Зафіксуємо натуральне число До І функцію порівняння К-го порядку. Говоритимемо, що функція F Належить до класу якщо знайдеться константа С10>0 Така, що
Замість писатимемо просто Hka.
Якщо для послідовності функцій {Fn} (n=1,2...)
Де С10 Не залежить від N, то писатимемо: рівномірно відносно N.
Поняття класів є природним узагальненням класів Ліпшиця і класів функцій, що мають обмежену К-ю похідну.
Визначення 10. Зафіксуємо число A>0 і позначимо через P Найменше натуральне число, не менше ніж А (P=-[- А]). Говоритимемо, що функція належить до класу якщо вона
- 1) є функція порівняння P-го порядку і 2) задовольняє умові: існує константа С11>0 Така, що для
Умова 2) є невеликим ослабленням умови " не убуває". Функції класу Na гратимуть основну роль у всьому подальшому викладі.
Визначення 11. Говоритимемо, що функція має порядок якщо знайдуться дві позитивні константи С12 І С13 Такі, що для всіх T, для яких визначені функції і _
.
При виконанні цих умов писатимемо
.
Визначення 12. Ядром Дирихле N-го порядку називається функція
(1.10)
Це ядро є тригонометричним поліномом порядку N І при цьому
(1.10')
Визначення 13. Ядром фейєра N-го порядку називається функція
(1.11)
Ядро фейєра Fn(t) Є середнім арифметичним перших N Ядер Дирихле, і означає, є тригонометричним поліномом порядку (N-1). Отже має місце рівність
(1.11')
(1.11')
Де Dk(t) -ядра Дирихле.
Визначення 14. Ядром Джексона N-го порядку називається функція
(1.12)
Властивості ядер Джексона.
А) При кожному N Ядро Jn(t) Є парним ненегативним тригонометричним поліномом порядка 2n-2 види
,
Де Jk=jk(n) - деякі числа
- Б) В) Г)
Доказ.
А) Враховуючи, що для ядер Fn(t) Фейєра має місце рівність
отримаємо
Де Jk(K=1,2...,2n-2) - некоторые числа, і зокрема, через ортогональности тригонометричної системи функцій знайдемо
Цим властивість а) доведено.
- Б) Ця рівність виходить з рівності, отриманої для J0. В) Оскільки при будь-якому і при (**)то Г) Абсолютно аналогічно злучаю в) отримаємо
Що і потрібно було довести.
Визначення 15. Ядром типу Джексона порядку N Називається функція
, (1.13)
N=1,2,3...,k-натуральное, де
(1.13')
Ядра типу Джексона володіють наступними властивостями:
- А) Б) При фіксованому натуральному До І довільному N Ядро Jn, k(t)
Є парним ненегативним тригонометричним поліномом порядку До(N-1)
- В) N2k-1, тобто існують постійні С14>0 І С15>0, такі, що при всіх N=1,2,3... Буде Г) При будь-якому s>0 має місце нерівність Д) При будь-якому натуральному
Доказ властивостей ядер типу Джексона.
- А) Ця властивість витікає з рівності визначення Б) Ця властивість виходить з 1-ої нерівності визначення і з того, що через рівність (1.11) і (1.11') буде
(1.14)
Де - деякі цілі числа.
- В) Враховуючи нерівності (**), матимемо (1.15)
З іншого боку
(1.15')
- Г) Ця нерівність витікає з першої рівності визначення і нерівності (1.15') Д) Дійсно, з одного боку, через нерівності (1.15') і (**)
(1.16)
Де A-const, а з іншого боку, враховуючи співвідношення (1.15), нерівностей (**) і з нерівності sintЈt, при всіх Tі0 (***), маємо
(1.16')
A1-const. Нерівності (1.16) і (1.16') рівносильні умові, що і потрібно було довести.
Похожие статьи
-
Цей параграф носить допоміжний характер. Тут встановлюється декілька простих властивостей модуля нерперывности вищих порядків. Всі функції F1 , що...
-
У цьому параграфі узагальнюються і уточнюються так звані "зворотні теореми" теорії наближення. Мова йде про оцінці диференціальних властивостей функції f...
-
Тут буде отримано невелике посилення теореми Джексона про якнайкращі наближення періодичних функцій тригонометричними поліномами. Лема 7. Хай дано...
-
Звернемося тепер до розгляду наступного питання: які необхідні і достатні умови того, щоб Де - задана незростаюча функція? Наскільки нам відомо, це...
-
У цьому параграфі встановлюється, що якщо тригонометричний поліном Tn(x) Близький до заданої функції F , то його модулі безперервності можна оцінити...
-
Приклад 1. Хай Тоді при кожному Приклад 2. Хай графік функції F(x) Має вигляд, зображений на рис.8.1. Тоді графік функції показаний на рис.8.2. Мал. 8.1....
-
Дипломна робота присвячена дослідженню якнайкращих наближень безперервних періодичних функцій тригонометричними поліномами. У ній даються необхідні і...
-
У цьому параграфі формулюється одне узагальнення нерівності С. Н. Бернштейна для похідних від тригонометричного полінома. Теорема 2. Хай. Тоді для...
-
Знаходження границь та частинних похідних і диференціалів функцій двох змінних
Знаходження границь та частинних похідних і диференціалів функцій двох змінних Будь-який упорядкований набір з П Дійсних чисел Х 1 ,...,x N позначається...
-
Загальні властивості функцій - Функції та способи їх задання
Означення : Множина всіх значень аргумента, для яких можна обчислити значення функції, називається природною областю визначення функції. Область...
-
Диференціал, Визначення диференціала. - Основи вищої математики
Визначення диференціала. Формули й правила диференціювання. Використання диференціала для наближених обчислень. Основні теореми диференціального...
-
Дослідження функції однієї змінної за допомогою першої й другої похідних - Основи вищої математики
I. Ознаки сталості зростання й спадання функції Теорема 1. Якщо у всіх точках проміжку A < X < B похідна F ( Х) = 0, то функція F ( Х) зберігає в...
-
Теорема 1. Похідна від функції logax дорівнює, тобто якщо y=logax, то . (11.1) Теорема 2. Похідна від sinx є cosx, тобто якщо y=sinx, то Y =cosx. (11.2)...
-
Межа функції - Основи вищої математики
Розглянемо деякі випадки зміни функції або прагнення аргументу Х до деякої межі " А " або до. Визначення 1: Нехай функція y=f(х) визначена в деякій...
-
Для визначення шляхів поліпшення було проведено дослідження інформаційних ланцюгів, згідно визначеної системи роботи підприємства. Рис.3.1 - Розподіл...
-
Визначення : Скалярний добуток двох векторів і дорівнює добутку модулів цих векторів на косинус кута між ними . (6.1) Таким чином, скалярний добуток двох...
-
Границя функції, Неперервність - Вища математика
Нехай функція визначена в деякому околі точки. Околом точки називається сукупність усіх точок таких, що віддаль О-2. (Гепрія Гейне (1821-1881)- нім....
-
BONAQUA МОРШИНСЬКА ЗНАМЕНІВСЬКА МИРГОРОДСЬКА Статистична обробка результатів аналізу Перевірка отриманих результатів вимірювання загальної лужності...
-
Перевірка отриманих результатів вимірювання на наявність грубих похибок за Q - критерієм при ? = 0,95 Де: Хі - отримані результати аналізу Перевірка...
-
Похідна функцій заданих неявно і параметрично - Основи вищої математики
І. Нехай значення двох змінних Х и Y зв'язані між собою деяким рівнянням F ( Х , Y )=0. (13.1) Якщо функція Y = F ( Х) визначена на інтервалі ( А , B )...
-
Для аналізу відбираємо проби різних мінеральних вод в об'ємі 100 см3 за допомогою мірної колби. Переносимо в конічну колбу на 250 см3, додаємо 5 см3...
-
Теорема 1. Нехай послідовності (хП) і (уП) мають відповідно границі а і b. Тоді послідовність (xN+yN) має границю а + b. Теорема 2. Нехай послідовності...
-
Функцією у = f(x) називається така відповідність між множинами D і Е, при якій кожному значенню змінної х відповідає одне й тільки одне значення змінної...
-
Положення підприємства багато в чому визначається його фінансовим станом, у зв'язку з чим аналізові фінансових результатів діяльності надається велике...
-
Скорость перемещения заряда в приповерхностной области полупроводника гетероструктуры, являющейся зоной перемещения сигнальных зарядовых пакетов...
-
Нехай функція F (х) задана на відрізку [a, b] . Розіб'ємо цей відрізок на N частин точками ділення А = х0 < x1 < x2 < ... < хn = b У кожному...
-
Кристали сульфіду цинку, активовані іонами Мn2+, досліджуються вже досить давно. Будь-яке дослідження спектрів ФЛ кристалів, буде далеко не повним без...
-
Визначення закону розподілу магнітної проникності в сталі обмотки ротора. У даному розділі ми розглянемо дві випадкові величини. Це магнітна проникність...
-
Таблиця - 2.2 V титранту ТрБ, см3 Вміст катіонів Ca2+, ммоль-екв/дм3 BONAQUA V1 = 4,9 C1 = = 2,205 ммоль-екв/дм3 V2 = 5,0 C2 = = 2,250 ммоль-екв/дм3 V3 =...
-
Теорема 1. Похідна Const =0, тобто якщо Y = С, те Y =0, де С = Const . Y = С -- пряма паралельна осі ОХ й Tg =0, тобто F ( Х) =0. Теорема 2. Постійний...
-
Уже из приведенного примера видно, что "управлять" величинами изменения значимости тех или иных элементов иерархии достаточно проблематично вследствие ее...
-
Визначення : Нехай дана матриця А=(mn), тоді мінором порядку "k" називають визначник, складений з елементів цієї матриці, якщо в неї викреслити (m--k)...
-
Математична модель завдання, як і структура рішення, складається із кількох етапів. Перший етап. На основі масиву даних обчислюється тенденція темпу...
-
Функції багатьох змінних - Вища математика
Для функції однієї змінної залежна змінна, тобто функція, повністю визначається (залежить) за значенням однієї незалежної змінної. П-1. Об'єм кулі Але...
-
В даний час існує ряд критеріїв для оцінки піно-утворення: 1. Властивості одинарної плівки. Ще Плато встановлено, що час життя плівки обернено...
-
Використання поняття похідної в економіці Розглянемо задачу про продуктивність праці. Нехай функція и = и(t) відображає кількість виробленої продукції u...
-
Измерение низких температур - Свойства веществ при низких температурах
Первичным термометрическим прибором для измерения термодинамической температуры вплоть до 1 К служит Газовый термометр . Др. вариантами первичного...
-
Физика низких температур, Низкие температуры - Свойства веществ при низких температурах
Низкие температуры Низкие температуры, криогенные температуры, обычно температуры, лежащие ниже точки кипения жидкого воздуха (около 80 К). Такие...
-
Горение в техногенных устройствах и горение при техногенных пожарах - Принципы горения и взрыва
Техногенная опасность - состояние, внутренне присущее технической системе, промышленному или транспортному объекту, реализуемое в виде поражающих...
-
Ценовая дискриминация - Принцип ценообразования при рыночной власти
Одним из возможных способов увеличения прибыли для производителя, в той или иной мере обладающего монопольной властью, является ценовая дискриминация, т....
Деякі допоміжні визначення - Дослідження якнайкращих наближень безперервних періодичних функцій тригонометричними поліномами