Теорема Маркова - Невід'ємні матриці

Нехай для стохастичної матриці P існує натуральне число k0 таке, що (тобто всі елементи додатні). Тоді

1. (існування границі матриці означає, що існує границя кожного її елементу) 2. Матриця - має однакові рядки. 3. Всі елементи цих рядків додатні.

Доведення теореми для 2х2 матриць.

Запишемо стохастичну матрицю у вигляді

, де

Запишемо її характеристичне рівняння:

,

Це квадратне рівняння з дискримінантом:

І тому

З урахуванням маємо, але якщо, то це значить, що p=q=1 або p=q=0, відкіля матриця P буде мати вигляд, або і тоді Pn містить нулі, що суперечить умові. Таким чином.

Безпосередньою перевіркою з урахуванням стохастичності встановлюємо, що власному значенню відповідає власний вектор, де x1=x2, тобто, наприклад власний вектор. Знайдемо власний вектор, що відповідає власному значенню.

За визначенням

Звідки

Згадуючи, що отримуємо

Очевидно, що рівняння системи пропорційні, тому одне з них можна відкинути. Знайдемо y1 з першого рівняння: або звідки, але, бо в протилежному випадку дана матриця мала б вигляд: , а тоді матриця мала б нульовий елемент, що суперечить умові. Тому можна записати, що

Доведемо тепер твердження 1 теореми.

Розглянемо матрицю S, стовпцями якої є власні вектори матриці P. Нам необхідно отримати зручну формулу для PN.

Позначимо.

Оскілки, то існує S-1. Перепишемо рівняння

та у матричній формі

або.

Відкіля

і взагалі

Знайдемо границю PN:

Твердження 1 теореми доведено.

Доведемо тепер, що рядки матриці однакові. Для цього обчислимо.

Оскільки

, то

Ми бачимо, що рядки матриці - однакові. Доведемо тепер, що їх елементи додатні. Для цього врахуємо отриману раніше залежність

Для того, щоб довести треба довести, що, треба довести, що та.

Маємо

,

, тому що p>0 і q >0

Теорема доказана.

Зауваження1 В процесі доведення ми вивели, що для 2х2 матриць

Зауваження2 Позначимо рядки граничної матриці. Тоді можна знайти з умови:

Доведення.

Оскільки

Звідки

Або

Звідки

Зокрема, для 2х2 матриці

Умовою рядок визначається однозначно, що для 2х2 матриці можна перевірити.

В роботі дані для матриць другого порядку елементарні доведення таких фундаментальних теорем теорії невід'ємних матриць. як теореми Перрона, Перрона-Фробеніуса, Маркова.

У відомій нам літературі повне доведення цих теорем дається для загального випадку матриць n-го порядку з використанням неелементарних теорем і методів. А математичний апарат, який використовується в даній роботі, це: аналіз поведінки розв'язків квадратного рівняння та розв'язків системи двох лінійних рівнянь в залежності від коефіцієнтів.

Робота може бути використана при проведенні додаткових занять, присвячених розгляду вибраних неелементарних питань математики, за допомогою методів, які доступні школярам.

Похожие статьи

• Вступ, Необхідні відомості з теорії матриць - Невід'ємні матриці

  Відомо [[1]-[10]], яку важливу роль відіграють невід'ємні матриці в математичних моделях економіки, біології, теорії ймовірностей тощо. Одними з...

• Узагальнення зворотних теорем С. Н. Бернштейна і Ш. Валле-Пуссена. - Дослідження якнайкращих наближень безперервних періодичних функцій тригонометричними поліномами

  У цьому параграфі узагальнюються і уточнюються так звані "зворотні теореми" теорії наближення. Мова йде про оцінці диференціальних властивостей функції f...

• Теорема о предельных вероятностях. - Использование цепей Маркова в моделировании социально-экономических процессов

  В 1930 году Дж. Биркгофом и Дж. фон Нейманом была сформулирована и доказана одна из основных эргодических теорем - теорема о предельных вероятностях:...

• Ранг матриці. Еквівалентні перетворення матриці Трапецевидна матриця і її ранг. Обчислення рангу матриці - Основи вищої математики

  Визначення : Нехай дана матриця А=(mn), тоді мінором порядку "k" називають визначник, складений з елементів цієї матриці, якщо в неї викреслити (m--k)...

• :Елементи лінійної алгебри і аналітичної геометрії, Матриці. Дії над матрицями - Основи вищої математики

  Матриці. Дії над матрицями Матриця вперше з'явилась в середині ХІХ століття в роботах англійських математиків У. Гамільтона і А. Келі [У. Гамільтон,...

• LU-розклад матриці, Обчислення власних чисел матриці - Вивчення математичного пакету MathСad

  Щоб знайти LU-розклад матриці A, треба використовувати функцію Lu(A) . Функція Lu(A) повертає матрицю, яка містить три квадратні матриці P, L і U,...

• Основна теорема - Дослідження якнайкращих наближень безперервних періодичних функцій тригонометричними поліномами

  Звернемося тепер до розгляду наступного питання: які необхідні і достатні умови того, щоб Де - задана незростаюча функція? Наскільки нам відомо, це...

• Матрицы над евклидовым кольцом - Евклидовость в математике

  Введем следующее определение: строку над евклидовым кольцом Е будем называть канонической, если, кроме главного элемента, все остальные ее элементы...

• Следствия теоремы, Послесловие к доказательству - Об одной теореме теории чисел

  Не существует ЦЕЛЫХ чисел, для которых выполняется равенство (1). При четных значениях показателя степени уравнение вида (1) идентично как для...

• Доказательство теоремы Ферма

  Доказательство теоремы Ферма Уважаемый Григорий Яковлевич! Обращается к Вам Черепанов Николай Михайлович, математик из Барнаула. В 2004 году, я...

• Теоремы Ферма, Ролля, Лагранжа и Коши

  Введение В данном реферате рассматриваются теоремы Ферма, Ролля, Лагранжа и Коши. "Теорема - высказывание, нравственность которого установлена при помощи...

• Алгебраические дополнения, Обратная матрица, войства обратных матриц. - Методы решения системы линейных уравнений

  Определение . Алгебраическим дополнением минора матрицы называется его Дополнительный минор , умноженный на (-1) в степени, равной сумме номеров строк и...

• Теорема Пенлеве - Условия Фукса и теорема Пенлеве

  Все приведенные выше исследования велись в предположении, что мы изучаем поведение интеграла в области изменения z, при котором w(z) принимает вполне...

• Теорема о параметризации., Универсальные функции - Рекурсивные функции

  Любую часть x1,x2,...,xn входных значений можно породить программно, более того - существует алгоритм, который генерирует по x1,x2,...,xn текст...

• Лазерная десорбция/ионизация при помощи матрицы (MALDI) - Хроматографические методы и их использование в идентификации загрязнителей природных сред

  Масс-спектрометрия с лазерной десорбцией/ионизацией при помощи матрицы (MALDI-MS) впервые была использована в 1988 году Танакой, Карасом и Хилленкампом....

• Характеристичний багаточлен матриці, Розв'язання рівнянь - Вивчення математичного пакету MathСad

  Для побудови характеристичного багаточлена матриці A використаємо символьні обчислення. Побудуємо матрицю D = A - Е, віднявши з діагональних елементів...

• Теорема Ферма - Математичний аналіз

  Якщо ф-я диф. в деякому околі Т. х0 і досягає в ній екстремума, то похідна = 0. Доведення: Нехай ф. досягає в екстремума в т. х0, тоді існує окіл т. х0,...

• Принцип сходимости, Предел функции. Теорема Гейне - Свойства функций

  Рассмотрим вопрос о существовании пределов последовательностей концевых точек бесконечной системы промежутков, вложенных друг в друга. Лемма Кантора ....

• Матрицы пространственных весов - Статистическое исследование арендного сегмента рынка коммерческой недвижимости Москвы

  Матрицы пространственных весов формализуют предположение о том, что исследуемый объект (район) имеет большую связь с близлежащими объектами (районами),...

• Введение, Формулировка теоремы, Обозначения, Доказательство вспомогательных лемм - Об одной теореме теории чисел

  В данной работе доказывается методами элементарной математики "большая" или "последняя" теорема Ферма. Некоторая, излишняя в обычных случаях, подробность...

• Вывод, Список литературы - Применение матриц при решении экономических задач

  Матричный статистика планирование хозрасчет Мы рассмотрели экономические задачи которые решали с помощью матриц. Использование матриц, как в науке, так и...

• Синтаксис и семантика. Теорема Райса - Рекурсивные функции

  Попробуем теперь проанализировать круг проблем, неразрешимость которых доказана в предыдущем пункте. Общим для них является то, что по кодам, т. е....

• Теорема Клини о нормальной форме - Рекурсивные функции

  Существуютпримитивнорекурсивныефункция u и примитивно разрешимый предикат T такие, что e, x ( E(x)=p ( k [T(e, x,k)])). В частности, e, x ( E(x) k T(e,...

• Управляемые цепи Маркова. Выбор стратегии. - Использование цепей Маркова в моделировании социально-экономических процессов

  Завод по изготовлению телевизоров, находясь в состоянии 1, может увеличить спрос путем организации рекламы. Это требует добавочных затрат и уменьшает...

• Теорема о параметризации - Рекурсивные функции

  Одно и то же выражение может порождать несколько разных функций, от разного числа аргументов. Так, обычное арифметическое выражение xK можно считать...

• Свойства операции умножения матриц - Методы решения системы линейных уравнений

  1)Умножение матриц не коммутативно, т. е. АВ ВА даже если определены оба произведения. Однако, если для каких - либо матриц соотношение АВ=ВА...

• Области применения цепей Маркова. - Использование цепей Маркова в моделировании социально-экономических процессов

  Цепи Маркова служат хорошим введением в теорию случайных процессов, т. е. теорию простых последовательностей семейств случайных величин, обычно зависящих...

• Составить двойственную задачу и найти ее оптимальное решение по теореме равновесия, Решение двойственной задачи - Методика решения двойственных задач линейного программирования

  Известно оптимальное решение X*=(0;0;1;1) задачи линейного программирования: Составьте двойственную задачу и найдите ее оптимальное решение по теореме...

• Задание №4, Для трехотраслевой экономической системы заданы матрица коэффициентов - Математические модели в экономике

  Для трехотраслевой экономической системы заданы матрица коэффициентов Прямых материальных затрат И вектор конечной продукции Найти коэффициенты полных...

• Условия Фукса - Условия Фукса и теорема Пенлеве

  Интегралы уравнения вида (1) Не имеют критических подвижных точек. Если в раскрытом виде уравнение (1) (2) И если содержит w, то интегралы уравнения (2)...

• Вступление, Матричные методы при решении экономических задач - Применение матриц при решении экономических задач

  Тема, с которой мы сегодня ознакомимся это "Применение матриц при решении экономических задач." Рассмотрим как с помощью матриц можно решать...

• Основные понятия теории марковских цепей. - Использование цепей Маркова в моделировании социально-экономических процессов

  Пусть { , , ..., } - множество возможных состояний некоторой физической системы. В любой момент времени система может находиться только в одном...

• ПРАВИЛО ЛОПИТАЛЯ - Скалярные и векторные величины, матрицы и функции

  Теорема Коши. Если при соблюдении предположений относительно функций и отношение стремится к некоторому числу при, то тогда к такому же числу будет...

• Диференціальні властивості тригонометричних поліномів, що апроксимують задану функцію - Дослідження якнайкращих наближень безперервних періодичних функцій тригонометричними поліномами

  У цьому параграфі встановлюється, що якщо тригонометричний поліном Tn(x) Близький до заданої функції F , то його модулі безперервності можна оцінити...

• 7. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ, ПОНЯТИЕ ФУНКЦИИ, ЧИСЛОВАЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ. ПРЕДЕЛ ЧИСЛОВОЙ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ - Скалярные и векторные величины, матрицы и функции

  ПОНЯТИЕ ФУНКЦИИ Если некоторому множеству значений поставлено по определенному правилу F во взаимнооднозначное соответствие некоторое множество, то тогда...

• Интегральная теорема Муавра-Лапласа

  Предположим, что в условиях схемы Бернулли проводится испытаний, в результате каждого из которых с вероятностью () происходит событие. Интегральная...

• Теоремы Эйлера и Ферма. Нахождение остатков от деления степеней - Разработка контрольных работ по математике

  В теории чисел большую роль играет числовая функция, называемая функцией Эйлера. Определение 3.1. Функцией Эйлера называется функция, определенная на...

• В потемках - Великая теорема Ферма

  Уайлс, о котором мир тогда еще ничего не знал, с облегчением вздохнул. Великая теорема Ферма по-прежнему оставалась непобежденной, и он мог продолжать...

• Теоремы двойственности и их использование в задачах ЛП - Решение оптимизационных экономических задач методами линейного программирования

  Исходная задача: При ограничениях: Двойственной является следующая задача: При ограничениях: Число неизвестных в двойственной задаче равно 2....

• Теоремы о пределах, По &;nbsp;теореме&;nbsp; о связи &;nbsp;предела&;nbsp; и бесконечно малой функции: - Действительные числа. Тригонометрические функции числового аргумента. Логарифмы. Частные случаи решения тригонометрических уравнений

  Теорема 1. Предел постоянной равен самой постоянной. . Доказательство. f(x)=с, докажем, что . Возьмем произвольное e>0. В качестве d можно взять любое...

Теорема Маркова - Невід'ємні матриці

Предыдущая | Следующая