Похідна функцій заданих неявно і параметрично - Основи вищої математики

І. Нехай значення двох змінних Х и Y зв'язані між собою деяким рівнянням

F(Х,Y)=0. (13.1)

Якщо функція Y=F(Х) визначена на інтервалі (А,B) така, що рівняння (13.1) при підстановці в нього замість Y F(Х) звертається в тотожність відносно Х, то функція Y=F(Х) є Неявна функція, обумовлена рівнянням (13.1).

Наприклад:

X2+Y2--A2=0, підставимо X2+Y2--X2--A2=0.

Зауваження 1. Відзначимо, що терміни "явна функція" й "неявна функція" характеризують не природу функції, а спосіб завдання. Кожна явна функція Y=F(Х) може бути представлена як неявна: Y--F(Х) =0.

Правило знаходження похідної неявної функції, не перетворюючи її в явну таке. Нехай функція задана рівнянням X2+Y2--A2=0. Тут Y є функція від Х, що визначає і цю тотожність.

Взявши похідну по Х, вважаючи, що Y є функція Х, користуючись складною функцією, одержимо:

2X+2Yy =0 .

Ще приклад:

Y6--Y--X2=0 6Y5Y --Y --2X=0 .

Зауваження 2. З наведених прикладів випливає, що для знаходження значення похідної неявної функції при даному значенні аргументу Х потрібно знати і значення функції Y при даному значенні Х.

ІІ. Похідна функції, заданої параметрично.

Нехай функція Y від Х задана параметричними рівняннями

X=(T), Y=(T), T0TT. (13.2)

Припустимо, що ці функції мають похідні й що функція X=(T) має зворотну T=(Х), що також має похідну. Тоді, визначену параметричними рівняннями функцію Y=F(X) можна розглядати як складну функцію y=(T), T=(Х), де T -- проміжний аргумент. Тоді за правилом складної функції

. (13.3)

На основі теореми про похідну зворотньої функції. Підставляючи, одержимо

або. (13.4)

Введена формула дає можливість знаходити похідну функції, заданої параметрично, не знаходячи виразу безпосередньої залежності Y від Х.

Приклад: Знайти кутовий коефіцієнт дотичної до лінії, заданої

у точці 0T2.

.

Похожие статьи




Похідна функцій заданих неявно і параметрично - Основи вищої математики

Предыдущая | Следующая