Диференціальні властивості тригонометричних поліномів, що апроксимують задану функцію - Дослідження якнайкращих наближень безперервних періодичних функцій тригонометричними поліномами

У цьому параграфі встановлюється, що якщо тригонометричний поліном Tn(x) Близький до заданої функції F, то його модулі безперервності можна оцінити через модулі безперервності F.

Теорема 3. Зафіксуємо натуральні числа До І N І хай

(5.1)

Тоді для будь-якого

(5.2)

(5.3)

(5.4)

І

(5.5)

Попередні зауваження. Нерівності (5.2) і (5.4) переважно для великих d, а (5.3) - для малих. Якщо то (5.2) сильніше, ніж (5.4); проте (5.4) має більш симетричну форму і часто зручніше в додатках.

Доказ. Доведемо (5.2). Користуючись (2.1), (2.2) і (5.1), маємо

Доведемо (5.5). Покладемо в (5.2) . Тоді отримаємо :

Після чого (4.5) дає (5.5).

(5.3) виходить з (5.5) в силу (2.11).

Залишається довести (5.4). Хай спершу. Тоді з (5.4) слідує:

Розглянемо, нарешті, випадок. З нерівності (2.7) виводиться

Підставляючи цю оцінку в (5.3), отримуємо (5.4) для.

Таким чином, теорема повністю доведена.

Слідство 3.1. Хай для деякого натурального До І будь-якого натурального N

(5.6)

Тоді для будь-якого d>0

(5.7)

Рівномірно відносно N.

Слідство 3.2. Хай для деякого натурального До І будь-якого натурального N

Тоді

(5.8)

Теорема 4. Для того, щоб необхідно і достатньо, щоб

(5.9)

Рівномірно відносно N.

Це витікає з теореми 1, следствия 3.1 і того зауваження що якщо виконана умова (5.9), то.

Теорема 5. Для того, щоб необхідно і достатньо, щоб

(5.10)

Це доводиться аналогічно теоремі 4, тільки замість слідства 3.1 потрібно скористатися слідством 3.2.

Нерівності теореми 3 мають той недолік, що їх праві частини явно залежать від константи С20. Таким чином, якщо замість фіксованого номера N І одного полінома Tn розглядати послідовність поліномів {Tn} (N=1,2...), то С20 опиниться, взагалі кажучи, незалежною від N І теореми 3 дає оцінки, не рівномірні відносно N. Покажемо як позбавитися від цієї незручності.

Теорема 6. Хай для деякого натурального до

(5.11)

І

(5.12)

Тоді для будь-якого d>0

(5.13)

Рівномірно відносно N.

Доказ. Хай спершу. З нерівності (5.2) виходить, що

І на підставі (5.11)

(5.14)

Розглянемо випадок. Покладемо в (5.14) . Тоді отримаємо

З цієї нерівності, в силу, витікає, що

Але оскільки, по умові то

Звідси

Остаточно

І теорема доведена.

У наступному параграфі буде показано, як можна видозмінити обмеження (5.11) теореми 6.

Похожие статьи




Диференціальні властивості тригонометричних поліномів, що апроксимують задану функцію - Дослідження якнайкращих наближень безперервних періодичних функцій тригонометричними поліномами

Предыдущая | Следующая