Знаходження границь та частинних похідних і диференціалів функцій двох змінних

Знаходження границь та частинних похідних і диференціалів функцій двох змінних

Будь-який упорядкований набір з П Дійсних чисел Х1,...,xN позначається (Х1,...,xN) або M(Х1,...,xN) і називається точкою П-вимірного арифметичного простору RN; числа Х1,...,xN називаються координатами точки M(Х1,...,xN). Відстань між точками M(Х1,...,xN) і M'(Х'1,...,x'N) визначається за формулою

Нехай - довільна множина точок П-вимірного арифметичного простору. Якщо кожній точці поставлено у відповідність деяке цілком визначене дійсне число F(M)=f(Х1,...,xN), то кажуть, що на множині D задана числова функція від П Змінних (Х1,...,xN), . Множина D називається областю визначення, а множина - множиною значень функції F.

Зокрема, при N=2 функцію двох змінних можна розглядати як функцію точок площини в тривимірному просторі з фіксованою системою координат Oxyz. Графіком цієї функції називається множина точок, яка визначає, взагалі кажучи, деяку поверхню в R3.

Приклад 1. Знайти область визначення функції.

Функція визначена при . Отже, область визначення є множиною точок, яка лежить між прямими і.

Приклад 2. Нехай

Знайти

Нехай функція F визначена в деякому околі точки MO, можливо, за винятком самої точки MO. Число B називається Границею функції U=f(M) при прямуванні точки M(Х1,...,xN). До точки MO(A1,...,aN), якщо для довільного ?>0 існує таке д>0, що з умови 0<(M, MO)<д випливає . При цьому записують:

Приклад 3. З'ясувати, чи має функція границю при x>0 ,y>0.

Нехай точка M(x, y) прямує до точки MO(0,0). Розглянемо зміну Х І У Вздовж прямої Y=kx. Тоді дістаємо, що

Результат має різні значення в залежності від вибраного K, і тому функція границі не має.

Функція U=f(M) називається Неперервною в точці MO, якщо:

;

Функція називається Неперервною в області, якщо вона неперервна в кожній точці цієї області. Якщо в точці MO принаймні одна з умов 1) - 3) порушується, то точка MO називається точкою розриву функції F.

Приклад 4. Знайти точки розриву функції.

Функція не визначена в точках, в яких знаменник перетворюється в нуль. Тому вона має лінією розриву пряму 2X+3Y+4=0.

Нехай - довільна фіксована точка з області визначення функції U=f(Х1,...,xN). Надаючи значенню змінної XK приросту XK k=1,...,N, розглянемо границю:

Ця границя називається Частинною похідною І-го порядку функції по змінній XK В точці і позначається або.

Обчислюються частинні похідні за звичайними правилами і формулами диференціювання, але при цьому всі змінні, крім XK, розглядаються як сталі.

Приклад 5. Знайти частинні похідні функції.

Вважаючи У Сталим, дістанемо

Вважаючи Х Сталим, одержимо

Частинними похідними 2-го порядку функції U=f(Х1,...,xN) називаються частинні похідні від її частинних похідних першого порядку. Похідні другого порядку позначаються так:

;

Аналогічно визначаються і позначаються частинні похідні порядку вищого, ніж другий.

Результат багатократного диференціювання функції по різних змінних не залежать від черговості диференціювання за умови, що одержані при цьому змішані частинні похідні неперервні.

Приклад 6. Знайти частинні другі похідні функції.

Маємо (приклад 5)

; .

Диференціюючи повторно, дістанемо:

;

Повним приростом функції U=f(Х1,...,xN). В точці, який відповідає приростам аргументів X1, X2,...,XN, називається різниця

Функція U=f(M) називається Диференційованою в точці MO, якщо скрізь в околі цієї точки повний приріст функції можна подати у вигляді

Де, - числа, не залежні від X1,...,XN.

Диференціалом 1-го порядку du Функції U=f(Х1,...,xN) називається вираз:

Диференціали незалежних змінних за означенням беруться рівними їх приростам:

Для диференціала Du правильна формула

Якщо достатньо мале, то для диференційовної функції правильна наближена формула: u=du або

Приклад 7. Обчислити наближено.

Шукане значення подамо як значення функції при де.

Маємо

Отже,

Диференціалом 2-го порядку d2U функції U=f(Х1,...,xN) називається диференціал від її диференціала 1-го порядку, розглянутого як функція змінних Х1,...,xN. при фіксованих значеннях Dх1,...,dxN.:d2U=d(du). Аналогічно визначається Диференціал 3-го порядку D3U=d(d2U). Взагалі, DKU=d(dK-1U)..