Межа функції - Основи вищої математики

Розглянемо деякі випадки зміни функції або прагнення аргументу Х до деякої межі "А" або до.

Визначення 1: Нехай функція y=f(х) визначена в деякій околиці точки "а" або в деяких точках цієї околиці. Функція y=f(х) прагне до межі "b" (yb) при х, що прагне до "а" (ха), якщо для кожного позитивного числа, як би мало воно не було, можна вказати таке позитивне число, що для всіх х, відмінних від "а" і задовольняючій нерівності |х-а|<, має місце нерівність |f(x)--b|<. Якщо "b" є межа функції f(х) при х а, то пишуть

або F(X)B при Xa. (2.1)

Зауваження 1. Межу функції F(Х) при Ха можна визначити в такий спосіб. Нехай Varx приймає значення так, що якщо |Х*-а|>|Х**-а|, те Х** -- є наступне, а Х* -- попереднього значення. Іншими словами з 2-х точок числової прямої, наступною є та точка, що ближче до "А", при рівних же відстанях наступна та, котра правіше точки "А".

Зауваження 2. Якщо F(Х) прагне до межі "B1" при Х прагнучому до деякого числа "А" так, що Х приймає тільки значення менше А, то пишуть

(2.2)

І називають B1 межею функції F(Х) у точці "А" Ліворуч.

Якщо ж Х приймає тільки значення більше "А", то пишуть

(2.3)

І називають "B2" межею функції в точці "А" Праворуч.

Зауваження 3. Для існування межі функції при Х-а не потрібно, щоб функція була визначена в точці Х=А. При знаходженні межі розглядаються значення функції в околиці точки "А", відмінні від "А".

Розглянемо деякі випадки зміни функції при Х.

Визначення 2: Функція f(х) прагне до межі "b", при х, якщо для кожного довільно малого позитивного числа можна вказати таке позитивне число N, що для всіх значень х, що задовольняють нерівності |Х|>N, буде виконуватися нерівність |F(х)--b|<.

Приклад: Доведемо, що або. Потрібно довести, що при довільному буде виконуватися нерівність (*). Якщо тільки |X|>N, причому N визначається вибором. Нерівність (*) еквівалентна наступній нерівності |1/X|<, що буде виконуватися, якщо |X|>1/=N. Це і означає, що. Знаючи суть символів Х+, Х--, очевидним є й суть виразів: F(X) b при Х+ і f(X) b при Х --, які символічно записуються так або.

Похожие статьи




Межа функції - Основи вищої математики

Предыдущая | Следующая