Означення визначеного інтеграла та його зміст, Основні властивості визначеного інтеграла, Обчислення визначених інтегралів - Визначений інтеграл
Нехай функція F (х) задана на відрізку [a, b]. Розіб'ємо цей відрізок на N частин точками ділення
А = х0 < x1 < x2 < ... < хn = b
У кожному проміжку [xK-1, xK] довжиною ?хK = ХK- ХK-1 Оберемо довільну точку і обчислимо відповідне значення функції.
Побудуємо суму яку називають інтегральною сумою для функції F (х) на відрізку [а, b].
Означення 1. Якщо існує скінченна границя інтегральної суми при, незалежна від способу ділення відрізка [а, b] на частини та добору точок, то ця границя називається визначеним інтегралом від функції F (х) на відрізку [а, b] і позначається
Математично це означення можна записати так:
(3)
Відмітимо, що числа А та B називають нижньою та верхньою межами, відповідно.
Згідно з цим означенням рівності (1) та (2) тепер можна за-писати у вигляді
(4)
Тобто площа криволінійної трапеції S та шлях S, пройдений точкою із змінною швидкістю V = F (t) виражаються визначеним інтегралом. Перевірка існування скінченної границі інтегральної суми для кожної функції утруднена. Але такої перевірки робити не треба тому, що використовують таку відому теорему.
Теорема 1. Якщо функція F (х) неперервна на відрізку [а, b] або обмежена і має скінченну кількість точок розриву на цьому відрізку, то границя інтегральної суми існує, тобто функція F (х) інтегрована на [a, b].
Основні властивості визначеного інтеграла
Із означення (3) визначеного інтеграла та основних теорем про граниш випливають слідуючі властивості.
- 1 Постійний множник можна виносити за знак визначеного інтеграла, тобто якщо А -- стала, то 2 Визначений інтеграл від алгебраїчної суми скінченної кіль-кості функцій дорівнює такій самій алгебраїчній сумі інтегралів від кожного доданку, тобто 3 Якщо поміняти місцями межи інтегрування, то визначений інтеграл змінює свій знак на протилежний, тобто 4 Визначений інтеграл з рівними межами дорівнює нулю, тобто
Для будь-якої функції F (х).
- 5 Якщо F (х) (х), Х [а, b], то 6 Якщо M та M -- найбільше та найменше значення функції F (х) на відрізку [a, b], то 7 де 8
Обчислення визначених інтегралів
Раніше ми навчились знаходити невизначені інтеграли. Тому для обчислення визначених інтегралів доцільно встановити зв'язок між ними.
Похожие статьи
-
З математичної точки зору розв'язки (1) і (2) мають однаковий зміст. О-1 Подвійним інтегралом від функції по області називається границя (3) За умови, що...
-
Задачі, що привели до поняття визначеного інтеграла Розглянемо дві задачі -- геометричну та фізичну. 1. Обчислення площі криволінійної трапеції . Нехай...
-
Методи наближеного обчислення - Визначений інтеграл
Для деяких неперервних надінтегральних функцій F (х) первісну не можна виразити елементарними функціями. У цих випадках обчислення визначного інтеграла...
-
Застосування визначених інтегралів, Обчислення площ - Визначений інтеграл
Обчислення площ Якщо на відрізку [а, b] функція F (х)0 , то згідно з форму-лою (4), обчислення площі криволінійної трапеції, зображеної на малюнку 1,...
-
Зв'язок між визначеним та невизначеним інтегралами Означення 2. Визначений інтеграл з постійною нижньою межею та змінною верхньою межею називають...
-
У випадку криволінійного інтегралу функція інтегрується по кривій. Аналогічно для тривимірного простору: Обчислення криволінійного інтегралу І-го роду...
-
Обчислення потрійних інтегралів в декартових і циліфндричних кординатах - Вища математика
1. Поняття потрійного інтеграла Розглянемо в просторі деяку замкнену область. Нехай в області і на її границі визначена деяка неперервна функія, де -...
-
Кратні інтеграли - розділ математичного аналізу. До поняття кратних інтегралів привели задачі про знаходження об'єму циліндричного тіла, про обчислення...
-
Використання поняття похідної в економіці Розглянемо задачу про продуктивність праці. Нехай функція и = и(t) відображає кількість виробленої продукції u...
-
Інтегрування частинами, Заміна змінної у визначеному інтегралі - Визначений інтеграл
Якщо проінтегрувати обидві частини рівності D[u(x) - v(x)] = v(x)du(x) + u(x)dv(x) В межах від А до B , то одержимо Звідси одержуємо важливу формулу...
-
Обчислення подвійного інтегралу - Застосування подвійного і потрійного інтегралів
Обчислення подвійного інтегралу. Обчислення подвійного інтегралу за формулою (1.2) як границі інтегральної суми, так само як і у випадку визначеного...
-
Нехай крива на площині має рівняння У = F (х). Треба знайти довжину дуги AB цієї кривої, обмежену прямими Х = а Та Х = b (дивись малюнок 6). Візьмемо на...
-
Загальні властивості функцій - Функції та способи їх задання
Означення : Множина всіх значень аргумента, для яких можна обчислити значення функції, називається природною областю визначення функції. Область...
-
Межа функції - Основи вищої математики
Розглянемо деякі випадки зміни функції або прагнення аргументу Х до деякої межі " А " або до. Визначення 1: Нехай функція y=f(х) визначена в деякій...
-
Диференціал, Визначення диференціала. - Основи вищої математики
Визначення диференціала. Формули й правила диференціювання. Використання диференціала для наближених обчислень. Основні теореми диференціального...
-
Теорема 1. Похідна від функції logax дорівнює, тобто якщо y=logax, то . (11.1) Теорема 2. Похідна від sinx є cosx, тобто якщо y=sinx, то Y =cosx. (11.2)...
-
Точки розриву і їхня класифікація. Теореми про безперервні функції - Основи вищої математики
Якщо функція F така, що для неї існують межі F ( А +0) і F ( А --0), однак F ( А ) F ( А +0) F ( А --0), то, мабуть, вона нерозривна (не безперервна) у...
-
Дослідження функції однієї змінної за допомогою першої й другої похідних - Основи вищої математики
I. Ознаки сталості зростання й спадання функції Теорема 1. Якщо у всіх точках проміжку A < X < B похідна F ( Х) = 0, то функція F ( Х) зберігає в...
-
Подвійний інтеграл Зміна порядку інтегрування в подвійному інтегралі Хай маємо область D як показано на рис. 1: Рис. 1 І вона задається нерівностями:...
-
ВУГЛЕКИСЛИЙ ГАЗ ТА ЙОГО ВЛАСТИВОСТІ - Склад повітря
Вивчаючи "Склад повітря" ми проводили дослід, зображений на малюнку 41. Через те, що вапняна вада помутніла ми зробили висновок, що у повітрі є...
-
Теорема 1. Похідна Const =0, тобто якщо Y = С, те Y =0, де С = Const . Y = С -- пряма паралельна осі ОХ й Tg =0, тобто F ( Х) =0. Теорема 2. Постійний...
-
Похідна. Її фізична (механічна) і геометрична інтерпретація - Основи вищої математики
І. Вважаючи, що X 0, розглянемо в даній фіксованій точці " Х " відношення приросту функції в цій точці до відповідного приросту аргументу Х . (7.1) (7.1)...
-
Теорема 1. Нехай послідовності (хП) і (уП) мають відповідно границі а і b. Тоді послідовність (xN+yN) має границю а + b. Теорема 2. Нехай послідовності...
-
Теореми про межі. Чудові межі - Основи вищої математики
Будемо розглядати сукупність функцій, які залежать від того самого аргументу Х , при цьому Ха або Х . Доведення проводиться для одного із цих випадків,...
-
Функції багатьох змінних - Вища математика
Для функції однієї змінної залежна змінна, тобто функція, повністю визначається (залежить) за значенням однієї незалежної змінної. П-1. Об'єм кулі Але...
-
Обчислення потрійного інтегралу Нехай область G розташована у тривимірній прямокутній системі координат. Вона обмежена знизу і зверху поверхнями z = (x,...
-
Набір арифметичного виразу здійснюється відповідно до таблиці. Після набору арифметичного виразу треба натиснути клавішу =. Якщо у виразі...
-
Щоб значно спростити задачу транспортування і подальшого зберігання газу, його необхідно зріджувати. Додаткова умова - це охолодження природного газу,...
-
Визначення : Скалярний добуток двох векторів і дорівнює добутку модулів цих векторів на косинус кута між ними . (6.1) Таким чином, скалярний добуток двох...
-
У цьому параграфі встановлюється, що якщо тригонометричний поліном Tn(x) Близький до заданої функції F , то його модулі безперервності можна оцінити...
-
Заміна змінних у подвійному інтегралі - Застосування подвійного і потрійного інтегралів
Нехай функція f(x, у) неперервна в деякій замкненій і обмеженій області D і існує інтеграл: I=. Припустимо, що за допомогою формул Х = x(u, v), у = у(и,...
-
Отримання титану - Титан та його властивості
Ціна - от що ще гальмує виробництво і споживання, титану. Власне, висока вартість - не уроджений порок титану. У земній корі його багато - 0,63%....
-
Фізичні і механічні властивості титану - Титан та його властивості
Титан дуже тугоплавкий метал. Довгий час вважався, що він плавиться при 1800° С, однак у середині 50-х рр. англійські вчені Діардорф і Хейс установили...
-
Хімічні сполуки титану - Титан та його властивості
З одновалентними галогенами (фтором, бромом, хлором і йодом) він може утворювати ди - три - і, тетраз'єднання, із сіркою й елементами її групи (селеном,...
-
Площа плоскої області обчислюється за формулою (6) У полярній системі координат формула (6) має вигляд (7) Об'єм циліндричного тіла, обмеженою зверху...
-
Обчислення подвійних інтегралів в полярній системі координат - Вища математика
Відомо, що полярні координати довільної точки зв'язані з її декартовими координатами формулами (1) Де Поняття подвійного інтеграла в полярній системі...
-
Робота сили Якщо - сила, яка вздовж кривої L змінюється по величині та напрямку, то при переміщенні матеріальної точки одиничної маси під дією цієї сили...
-
Нескінченно мала й нескінченно велика величини - Основи вищої математики
Визначення . Змінна N , що має межу рівну 0, називається нескінченно малою величиною, якщо для кожного > 0 знайдеться n 0 таке, що | N |< ( N > N 0) ....
-
У цьому параграфі узагальнюються і уточнюються так звані "зворотні теореми" теорії наближення. Мова йде про оцінці диференціальних властивостей функції f...
-
У роботі розглядаються безперервні функції F З періодом 2p і їх наближення тригонометричними поліномами. Через Tn(x) Позначається тригонометричний...
Означення визначеного інтеграла та його зміст, Основні властивості визначеного інтеграла, Обчислення визначених інтегралів - Визначений інтеграл