Визначені та невизначені інтеграли, Зв'язок між визначеним та невизначеним інтегралами - Визначений інтеграл

Зв'язок між визначеним та невизначеним інтегралами

Означення 2. Визначений інтеграл з постійною нижньою межею та змінною верхньою межею називають інтегралом із змінною верхньою межею.

Щоб мати звичне позначення, змінну верхню межу позначимо через х, а змінну інтегрування -- T. Одержимо інтеграл

який є функцієюх, тобто Ф(х) =

Теорема 2. Якщо F (х) неперервна функція, то похідна ви-значеного інтеграла від неперервної функції по змінній верхній межі дорівнює значенню підінтегральної функції для цієї верхньої межі, тобто

(5)

Доведення. Надамо аргументу Х приріст ?х, тоді функція Ф(х) одержить приріст, який згідно з властивістю 8 визначеного інтеграла можна записати у вигляді

До останнього інтеграла застосуємо властивість 7, тоді

де

Згідно з означенням похідної маємо

Що й треба було довести.

Теорема 3. Визначений інтеграл від неперервної функції дорівнює різниці значень будь-якої її первісної для верхньої та нижньої меж інтегрування, тобто якщо F(x) є первісна функції F (х), то має місце рівність ь

(6)

Яка називається формулою Ньютона-Лейбніца.

Доведення. Нехай F(x) деяка первісна функції F (х). За теоремою 2 також первісна для F (х). Але дві первісні функції F (х) відрізняються лише на постійний доданок С. Тому

(7)

Ця рівність (7) при відповідному обранні С буде тотожністю, тобто має місце для усіх Х.

Для визначення С візьмемо у формулі (7) Х = а. Тоді

Отже,

Якщо у цій рівності покласти х = b, то одержимо

Змінюючи змінну інтегрування t на х, одержимо формулу (6), що й треба було довести.

Відмітимо, що різницю позначають часто так:

F(x) , тобто F(x)=

Тому формулу Ньютона-Лейбніца (6) можна записати у вигляді

Ця формула вказує не тільки на зв'язок визначеного інтеграла з невизначеним, але й спосіб обчислення.

Приклад 1. Обчислити

Розв'язування.

Похожие статьи




Визначені та невизначені інтеграли, Зв'язок між визначеним та невизначеним інтегралами - Визначений інтеграл

Предыдущая | Следующая