Похідна суми, добутку, частки, сталої, добутку сталої на функцію, Похідна складної функції - Основи вищої математики
Теорема 1. Похідна Const=0, тобто якщо Y=С, те Y =0, де С=Const. Y=С-- пряма паралельна осі ОХ й Tg=0, тобто F (Х) =0.
Теорема 2. Постійний множник можна виносити за знак похідної, тобто якщо
Y=Сf(х), де С=const, y =Сf (х) (9.1)
Теорема 3. Похідна алгебраїчної суми кінцевого числа функцій дорівнює відповідній сумі похідних цих функцій
Y=u(x)v(x)w(x) y =u (x)v (x)w (x). (9.2)
Теорема 4. Похідна від добутку двох функцій дорівнює добутку похідної першої функції на другу плюс добуток першої функції на похідну другої функції, тобто якщо Y=V(Х) U(Х), то Y = V (Х) U(Х) +V(Х) U (Х). (9.3)
Аналогічно й похідна будь-якого числа функцій, тобто
Y=U1U2U3...UN, те y =
Доказ: y=uv y+y=(u+u)(v+v) y=uv+uv+uv (:x)
Що й було потрібно довести.
Теорема 5. Похідна частки від ділення двох функцій, дорівнює дрібу, у якого знаменник є квадрат знаменника даного дробу, а чисельник є різниця між добутком знаменника на похідну чисельника й чисельника на похідну знаменника, тобто Якщо
, то. (9.4)
Доказ:
Що й було потрібно довести.
Похідна складної функції
Нехай дана складна функція Y=F(Х), тобто така, що її можна представити у вигляді:
Y=F(U), де U=(Х) Y=F[(Х)] (10.1)
U -- називається проміжним аргументом.
Теорема: Якщо функція U=(Х) має в деякій точці "Х" похідну, а функція Y=F(U) має при відповідному значенні "U" похідну, те складна функція Y=F [(Х)] у точці "Х" також має похідну, що дорівнює
(10.2)
Де замість "U" повинне бути підставлене вираз U=(Х). Коротко: Похідна складної функції дорівнює добутку похідної даної функції по проміжному аргументу "U" на похідну проміжного аргументу по "Х". (Без доказу).
Похожие статьи
-
Теорема 1. Похідна від функції logax дорівнює, тобто якщо y=logax, то . (11.1) Теорема 2. Похідна від sinx є cosx, тобто якщо y=sinx, то Y =cosx. (11.2)...
-
Дослідження функції однієї змінної за допомогою першої й другої похідних - Основи вищої математики
I. Ознаки сталості зростання й спадання функції Теорема 1. Якщо у всіх точках проміжку A < X < B похідна F ( Х) = 0, то функція F ( Х) зберігає в...
-
Похідна в економіці - Основи вищої математики
Розглянемо однофакторну або одноресурсну похідну функцію Y = F ( Х) , що дає об'єм виробленої продукції за одиницю часу залежно від об'єму Х витраченого...
-
Похідна. Її фізична (механічна) і геометрична інтерпретація - Основи вищої математики
І. Вважаючи, що X 0, розглянемо в даній фіксованій точці " Х " відношення приросту функції в цій точці до відповідного приросту аргументу Х . (7.1) (7.1)...
-
Точки розриву і їхня класифікація. Теореми про безперервні функції - Основи вищої математики
Якщо функція F така, що для неї існують межі F ( А +0) і F ( А --0), однак F ( А ) F ( А +0) F ( А --0), то, мабуть, вона нерозривна (не безперервна) у...
-
Теореми про межі. Чудові межі - Основи вищої математики
Будемо розглядати сукупність функцій, які залежать від того самого аргументу Х , при цьому Ха або Х . Доведення проводиться для одного із цих випадків,...
-
Похідна функцій заданих неявно і параметрично - Основи вищої математики
І. Нехай значення двох змінних Х и Y зв'язані між собою деяким рівнянням F ( Х , Y )=0. (13.1) Якщо функція Y = F ( Х) визначена на інтервалі ( А , B )...
-
Межа функції - Основи вищої математики
Розглянемо деякі випадки зміни функції або прагнення аргументу Х до деякої межі " А " або до. Визначення 1: Нехай функція y=f(х) визначена в деякій...
-
Безперервність функції - Основи вищої математики
Нехай функція Y = F ( Х) визначена при деякому значенні Х 0 й у деякій околиці із центром у Х 0, нехай Y 0= F ( Х 0). Якщо Х одержить деякий позитивний...
-
Диференціал, Визначення диференціала. - Основи вищої математики
Визначення диференціала. Формули й правила диференціювання. Використання диференціала для наближених обчислень. Основні теореми диференціального...
-
Визначення : Алгебраїчні лінійні рівняння називаються однорідними, якщо в них вільний член дорівнює нулю. Розглянемо таку систему, що має вигляд: (10.1)...
-
Асимптоти. Вертикальні й горизонтальні - Основи вищої математики
Якщо відстань ОМ від деякої точки О до точки, що Рухається, М, то Відстань О 1 М , на яку Точка М віддаляється від якої-небудь іншої нерухомої Крапки О 1...
-
Нескінченно мала й нескінченно велика величини - Основи вищої математики
Визначення . Змінна N , що має межу рівну 0, називається нескінченно малою величиною, якщо для кожного > 0 знайдеться n 0 таке, що | N |< ( N > N 0) ....
-
Визначення : Скалярний добуток двох векторів і дорівнює добутку модулів цих векторів на косинус кута між ними . (6.1) Таким чином, скалярний добуток двох...
-
ДИФЕРЕНЦІАЛЬНЕ ЧИСЛЕННЯ ФУНКЦІЇ ОДНІЄЇ ЗМІННОЇ, Поняття межі послідовності - Основи вищої математики
Математика алгебра геометрія тригонометрія Поняття межі послідовності Визначення : Нехай кожному натуральному числу n=1, 2, 3, ... за деяким законом...
-
І. Визначення : Мішаним добутком трьох векторів і називається добуток виду, де два перших вектори перемножуються векторно, а їхній добуток множиться...
-
Визначники та їх властивості - Основи вищої математики
До поняття визначника приходимо, розглядаючи системи алгебраїчних рівнянь першого степеня. Розглянемо систему рівнянь: (2.1) X та y -- невідомі,...
-
Матриці. Дії над матрицями Матриця вперше з'явилась в середині ХІХ століття в роботах англійських математиків У. Гамільтона і А. Келі [У. Гамільтон,...
-
Аргумент, функція, похідна - Математичний аналіз
Різниця між двома аргументами називається приростом аргументу. Приростом функції називається різниця між двома значеннями функції. Нехай в деякому околі...
-
Теорема 1. Нехай послідовності (хП) і (уП) мають відповідно границі а і b. Тоді послідовність (xN+yN) має границю а + b. Теорема 2. Нехай послідовності...
-
Границя функції, Неперервність - Вища математика
Нехай функція визначена в деякому околі точки. Околом точки називається сукупність усіх точок таких, що віддаль О-2. (Гепрія Гейне (1821-1881)- нім....
-
Функції багатьох змінних - Вища математика
Для функції однієї змінної залежна змінна, тобто функція, повністю визначається (залежить) за значенням однієї незалежної змінної. П-1. Об'єм кулі Але...
-
Визначення. Матриця називається оберненою матриці, якщо їх добуток, тобто рівний одиничній матриці. Якщо квадратна матриця має зворотню матрицю, то вона...
-
Визначення : Нехай дана матриця А=(mn), тоді мінором порядку "k" називають визначник, складений з елементів цієї матриці, якщо в неї викреслити (m--k)...
-
Пряма в просторі - Основи вищої математики
І. Загальне рівняння прямої Пряму в просторі найчастіше задають як перетинання двох площин І площина А 1 Х + В 1 Y + C 1 Z + D =0 ІІ площина А 2 Х + В 2...
-
Рівняння, Трансцендентні рівняння - Основи вищої математики
З одним невідомим повинно бути одне, його звичайно приводять до канонічного вигляду: Приклад: Рівняння 1,2,3 ... степені і т. д. -- лінійні рівняння....
-
Розкриття невизначеностей. Формула Тейлора - Основи вищої математики
1. Невизначеність виду 0/0. Теорема 1 ( Правило Лопіталя - Гійом 1661-1704 р., французький математик, автор першого друкованого підручника по...
-
Визначення : Сукупність лінійно незалежних векторів, по яких відбувається розкладання інших векторів, називається Базисом . Отже, у площині можуть...
-
Системи лінійних алгебраїчних рівнянь - Основи вищої математики
1. Будемо розглядати систему з "m" лінійних алгебраїчних рівнянь із "n" невідомими (8.1) Рішенням такої системи називається такий набір чисел Х 1, Х 2,...
-
А) Представлення у вигляді многочлена, тобто можна представити у вигляді многочлена за допомогою елементарних перетворень (приведеня подібних членів і...
-
Вектори. Лінійні операції над векторами, лінійні залежності векторів - Основи вищої математики
Визначення : У фізиці Векторними величинами або Векторами називаються ті, які характеризуються не тільки їхнім числовим значенням, але й напрямком у...
-
І. Визначення : Окружністю називається множина всіх точок площини, що перебувають на однаковій відстані, названій Радіусом , від фіксованої точки,...
-
Метод Гауса - Основи вищої математики
( Карл Фрідріх Гаус (1777-1855) іноземний член Петербурзької АН (1824), німецький математик. Праці: вища алгебра, диференціальна геометрія, математична...
-
Пряма на площині. Площина в просторі - Основи вищої математики
Пряма в просторі І. Пряма на площині 1. Рівняння прямої, що проходить через дану точку перпендикулярно даному вектору Нехай на площині ХО задана точка М...
-
: Елементарна математика, Основні поняття - Основи вищої математики
Основні поняття Визначення. Алгебраїчним виразом називається одна чи декілька алгебраїчних велечин (чисел чи букв) з'єднаних між собою знаками...
-
Нехай функція F (х) задана на відрізку [a, b] . Розіб'ємо цей відрізок на N частин точками ділення А = х0 < x1 < x2 < ... < хn = b У кожному...
-
Правила диференціювання - Математичний аналіз
Операція знаходження похідної від даної функції називається диференціюванням цієї функції. Доведемо ряд теорем, які дають основні правила знаходження...
-
У цьому параграфі встановлюється, що якщо тригонометричний поліном Tn(x) Близький до заданої функції F , то його модулі безперервності можна оцінити...
-
Поняття функціональної залежності - Функції та способи їх задання
Величина називається змінною (сталою), якщо в умовах даної задачі набуває різних (тільки одне) значень. Розглянемо дві змінні величини. Означення :...
-
Частинні похідні функції двох змінних - Вища математика
Розглянемо ф-ю втрачену в деякому околі точки. 1) Зафіксуємо змінну. Дістанемо функцію однієї змінної. Якщо змінній в точці надано приріст, то отримаємо...
Похідна суми, добутку, частки, сталої, добутку сталої на функцію, Похідна складної функції - Основи вищої математики