Теорема Пенлеве - Условия Фукса и теорема Пенлеве

Все приведенные выше исследования велись в предположении, что мы изучаем поведение интеграла в области изменения z, при котором w(z) принимает вполне определенные значения. Следует отметить, что полученные в этом предположении условия Фукса недостаточны в случае присутствия подвижных существенно особых точек интеграла.

При наличии таких точек у интегралов рассматриваемых уравнений условия Фукса были бы в этом случае недостаточны для отсутствия критических подвижных точек, так как могли бы существовать подвижные критические существенно особые точки.

Однако Пенлеве удалось доказать теорему о том, что интегралы рассматриваемых уравнений не имеют подвижных существенно особых точек. Тем самым была доказана достаточность условий Фукса для всей области существования интегралов уравнений этого типа.

Теорема Пенлеве гласит: интегралы уравнения

, (1)

Где P - многочлен относительно и и аналитическая функция от z, не имеют подвижных существенно особых точек.

Доказательство этой теоремы представляет незначительное изменение доказательства для более частного случая.

Отметим сначала все неподвижные точки, которые могут быть особыми. Сюда отнесем следующие точки.

    1) Особые точки аналитических функций переменного z - коэффициентов при степенях и в уравнении (1). Множество этих точек назовем. 2) Напишем уравнение (1) более подробно в виде

.

Может случиться, что найдутся такие значения w и z, которые одновременно обращают в нуль все выражения Множество соответствующих значений z назовем.

3) Пусть, далее, ,..., - решения дискриминантного уравнения.

Предшествующие рассуждения предполагали, что все эти решения различны. Поэтому выделим все такие точки плоскости (z), для которых некоторые значения из равны друг другу. Множество соответствующих значений z назовем.

4) Наконец, сделав преобразование, отметим все точки z, которые войдут в и или для преобразованного уравнения и не входят в первоначальные множества, , . Множество соответствующих точек назовем. Точки множества M, состоящего из, , , могут быть существенно особыми точками интегралов. Обозначим точки множества M через о. Очевидно, о - неподвижные особые точки интегралов.

Рассмотрим теперь точку, отличную от точек множества M, и будем приближаться к по некоторому пути L. Докажем, что при этом интеграл w(z) уравнения (1) будет стремиться к некоторому вполне определенному значению

Действительно, обозначим решения уравнения через а решения уравнения через и пусть при функции и принимают значения построим на плоскости (w) точки и опишем из них, как из центров, окружности малого радиуса. Кроме того, на плоскости (w) из точки w=0, как из центра опишем окружность Г с достаточно большим радиусом R.

Пусть S - часть плоскости (w), лежащая внутри Г и вне всех.

Если z лежит достаточно близко к, например, если, то соответствующие значения мало отличаются от, так что можно выбрать радиус r настолько малым, что все будут лежать внутри окружностей, концентрических с окружностями, радиуса. Опишем еще окружность, концентрическую с Г, радиуса.

Обозначим через область, ограниченную окружностями и.

Различные ветви, определяемые уравнением (1), голоморфны, пока z остается внутри окружности и w лежат в. Пусть - наибольший из модулей функции, пока z и w изменяются в указанных областях.

Если взять значения внутри окружности, то есть так, чтобы и чтобы лежало в области S, то интеграл уравнения, равный при, по теореме Коши голоморфен внутри окружности, где.

Рассмотрим теперь какой-нибудь интеграл w(z) уравнения (1). Если при подходе z к интеграл w(z) не стремится ни к одному из значений, ни к, то сколь угодно близко к найдутся такие значения w(z), которые лежат внутри области S.

Если взять таким образом, чтобы, то соответствующий интеграл будет голоморфен внутри окружности и, следовательно, в точке.

Таким образом, при подходе z к интеграл уравнения или стремится к, или стремится к бесконечности, или голоморфен в. В первых двух случаях, как показано выше, интеграл имеет в или алгебраическую критическую точку, или полюс.

Итак, теорема Пенлеве доказана. Из этой теоремы сейчас же следует, что выведенные выше условия Фукса для отсутствия в интегралах подвижных критических точек достаточны, так как там были разобраны все случаи, когда при подходе z к некоторому значению интеграл w(z) стремится к некоторому определенному значению.

Похожие статьи




Теорема Пенлеве - Условия Фукса и теорема Пенлеве

Предыдущая | Следующая