Теорема Пенлеве - Условия Фукса и теорема Пенлеве
Все приведенные выше исследования велись в предположении, что мы изучаем поведение интеграла в области изменения z, при котором w(z) принимает вполне определенные значения. Следует отметить, что полученные в этом предположении условия Фукса недостаточны в случае присутствия подвижных существенно особых точек интеграла.
При наличии таких точек у интегралов рассматриваемых уравнений условия Фукса были бы в этом случае недостаточны для отсутствия критических подвижных точек, так как могли бы существовать подвижные критические существенно особые точки.
Однако Пенлеве удалось доказать теорему о том, что интегралы рассматриваемых уравнений не имеют подвижных существенно особых точек. Тем самым была доказана достаточность условий Фукса для всей области существования интегралов уравнений этого типа.
Теорема Пенлеве гласит: интегралы уравнения
, (1)
Где P - многочлен относительно и и аналитическая функция от z, не имеют подвижных существенно особых точек.
Доказательство этой теоремы представляет незначительное изменение доказательства для более частного случая.
Отметим сначала все неподвижные точки, которые могут быть особыми. Сюда отнесем следующие точки.
- 1) Особые точки аналитических функций переменного z - коэффициентов при степенях и в уравнении (1). Множество этих точек назовем. 2) Напишем уравнение (1) более подробно в виде
.
Может случиться, что найдутся такие значения w и z, которые одновременно обращают в нуль все выражения Множество соответствующих значений z назовем.
3) Пусть, далее, ,..., - решения дискриминантного уравнения.
Предшествующие рассуждения предполагали, что все эти решения различны. Поэтому выделим все такие точки плоскости (z), для которых некоторые значения из равны друг другу. Множество соответствующих значений z назовем.
4) Наконец, сделав преобразование, отметим все точки z, которые войдут в и или для преобразованного уравнения и не входят в первоначальные множества, , . Множество соответствующих точек назовем. Точки множества M, состоящего из, , , могут быть существенно особыми точками интегралов. Обозначим точки множества M через о. Очевидно, о - неподвижные особые точки интегралов.
Рассмотрим теперь точку, отличную от точек множества M, и будем приближаться к по некоторому пути L. Докажем, что при этом интеграл w(z) уравнения (1) будет стремиться к некоторому вполне определенному значению
Действительно, обозначим решения уравнения через а решения уравнения через и пусть при функции и принимают значения построим на плоскости (w) точки и опишем из них, как из центров, окружности малого радиуса. Кроме того, на плоскости (w) из точки w=0, как из центра опишем окружность Г с достаточно большим радиусом R.
Пусть S - часть плоскости (w), лежащая внутри Г и вне всех.
Если z лежит достаточно близко к, например, если, то соответствующие значения мало отличаются от, так что можно выбрать радиус r настолько малым, что все будут лежать внутри окружностей, концентрических с окружностями, радиуса. Опишем еще окружность, концентрическую с Г, радиуса.
Обозначим через область, ограниченную окружностями и.
Различные ветви, определяемые уравнением (1), голоморфны, пока z остается внутри окружности и w лежат в. Пусть - наибольший из модулей функции, пока z и w изменяются в указанных областях.
Если взять значения внутри окружности, то есть так, чтобы и чтобы лежало в области S, то интеграл уравнения, равный при, по теореме Коши голоморфен внутри окружности, где.
Рассмотрим теперь какой-нибудь интеграл w(z) уравнения (1). Если при подходе z к интеграл w(z) не стремится ни к одному из значений, ни к, то сколь угодно близко к найдутся такие значения w(z), которые лежат внутри области S.
Если взять таким образом, чтобы, то соответствующий интеграл будет голоморфен внутри окружности и, следовательно, в точке.
Таким образом, при подходе z к интеграл уравнения или стремится к, или стремится к бесконечности, или голоморфен в. В первых двух случаях, как показано выше, интеграл имеет в или алгебраическую критическую точку, или полюс.
Итак, теорема Пенлеве доказана. Из этой теоремы сейчас же следует, что выведенные выше условия Фукса для отсутствия в интегралах подвижных критических точек достаточны, так как там были разобраны все случаи, когда при подходе z к некоторому значению интеграл w(z) стремится к некоторому определенному значению.
Похожие статьи
-
Условия Фукса - Условия Фукса и теорема Пенлеве
Интегралы уравнения вида (1) Не имеют критических подвижных точек. Если в раскрытом виде уравнение (1) (2) И если содержит w, то интегралы уравнения (2)...
-
Следствия теоремы, Послесловие к доказательству - Об одной теореме теории чисел
Не существует ЦЕЛЫХ чисел, для которых выполняется равенство (1). При четных значениях показателя степени уравнение вида (1) идентично как для...
-
Принцип сходимости, Предел функции. Теорема Гейне - Свойства функций
Рассмотрим вопрос о существовании пределов последовательностей концевых точек бесконечной системы промежутков, вложенных друг в друга. Лемма Кантора ....
-
Исходная задача: При ограничениях: Двойственной является следующая задача: При ограничениях: Число неизвестных в двойственной задаче равно 2....
-
Теоремы Ферма, Ролля, Лагранжа и Коши
Введение В данном реферате рассматриваются теоремы Ферма, Ролля, Лагранжа и Коши. "Теорема - высказывание, нравственность которого установлена при помощи...
-
В теории чисел большую роль играет числовая функция, называемая функцией Эйлера. Определение 3.1. Функцией Эйлера называется функция, определенная на...
-
Теорема о параметризации., Универсальные функции - Рекурсивные функции
Любую часть x1,x2,...,xn входных значений можно породить программно, более того - существует алгоритм, который генерирует по x1,x2,...,xn текст...
-
Рождение проблемы - Великая теорема Ферма
Жизненно важным, поворотным пунктом в развитии западной математики стал 1453 год, когда турки разграбили Константинополь. За прежние годы рукописи,...
-
Введение, История теоремы - Великая теорема Ферма
Она заинтересовала меня тем, что на вид очень простая и казалось бы, решить ее может каждый школьник, но найти ее решение на протяжении 358 лет пытались...
-
Свойство 1. Вероятность достоверного события равна единице. Действительно, если событие достоверно, то каждый элементарный исход испытания...
-
Теорема о параметризации - Рекурсивные функции
Одно и то же выражение может порождать несколько разных функций, от разного числа аргументов. Так, обычное арифметическое выражение xK можно считать...
-
Сущность и основные условия применения корреляционного анализа В соответствии с сущностью корреляционной связи ее изучение имеет две цели: 1) измерение...
-
Теорема: Для того, чтобы ограниченная на сегменте функция была интегрируемой на этом сегменте, необходимо и достаточно, чтобы для любого нашлось такое...
-
Доказательство теоремы Ферма Уважаемый Григорий Яковлевич! Обращается к Вам Черепанов Николай Михайлович, математик из Барнаула. В 2004 году, я...
-
Снова великая теорема Ферма! - Великая теорема Ферма
Сегодня в доказательстве великой теоремы Ферма произошел поистине поразительный сдвиг. Наум Элькис (профессор Гарвардского университета) заявил, что...
-
В потемках - Великая теорема Ферма
Уайлс, о котором мир тогда еще ничего не знал, с облегчением вздохнул. Великая теорема Ферма по-прежнему оставалась непобежденной, и он мог продолжать...
-
Дуэль с бесконечностью - Великая теорема Ферма
Чтобы доказать Великую теорему Ферма, Уайлсу было необходимо сначала доказать гипотезу Таниямы-Шимуры о том, что каждой эллиптической кривой можно...
-
Эндрю Уайлс во время обучения в колледже. Тайные вычисления - Великая теорема Ферма
"Однажды вечером, в конце лета 1986 года, я попивал чай в гостях у своего приятеля. В беседе он между прочим упомянул о том, что Кену Рибету удалось...
-
Уход в абстракцию - Великая теорема Ферма
После работ Эрнста Куммера надежды найти доказательство ослабли, как никогда прежде. Кроме того, в математике начали развиваться различные новые области....
-
Запечатанные конверты - Великая теорема Ферма
После прогресса, достигнутого благодаря работам Софи Жермен, Французская Академия Наук установила серию премий, включая золотую медаль и 3000 франков,...
-
Месье Леблан - Великая теорема Ферма
К началу XIX века за Великой теоремой Ферма установилась устойчивая репутация самой трудной проблемы в теории чисел. После прорыва, осуществленного...
-
Математик-циклоп - Великая теорема Ферма
Создание математики -- занятие мучительное и таинственное. Объект доказательства часто бывает ясен, но путь к доказательству теряется в тумане, и...
-
- одношаговость процедуры (для Субъектов); - Субъекты - участники конкурса не образуют коалиции и не обмениваются информацией о поданных предложениях, но...
-
Комментарии к третьему разделу курсовой работы В третьем разделе курсовой работы студенту предлагается определить оптимальную стратегию заказа в условиях...
-
Условия существования гамильтонова цикла - Гамильтоновы циклы
В отличие от эйлеровых графов, где имеется критерий для графа быть эйлеровым, для гамильтоновых графов такого критерия нет. Более того, задача проверки...
-
У цьому параграфі узагальнюються і уточнюються так звані "зворотні теореми" теорії наближення. Мова йде про оцінці диференціальних властивостей функції f...
-
Ответ: y=f(kx) получается из Графика функции f(x) сжатием его вдоль оси ох в k раз, если k>1 и растяжением в 1 деленную на k раз, если k>0 но меньше 1....
-
В реальных производственных условиях, во-первых, не может быть мгновенных поставок партий исходного продукта переработки, а во-вторых, технологический...
-
Моделирование в условиях противодействия, игровые модели - Основы теории систем и системного анализа
Как уже неоднократно отмечалось, системный анализ невозможен без учета взаимодействий данной системы с внешней средой. Ранее упоминалась необходимость...
-
Необходимое условие идентификации Уравнение 1: H=3 D+1=H Уравнение идентифицируемое D=2 Уравнение 2: H=3 D+1=H Уравнение идентифицируемое D=2 Уравнение...
-
Награда Эндрю - Великая теорема Ферма
Предложенное Уайлсом доказательство Великой теоремы Ферма опирается на доказательство гипотезы, родившейся в 50-е годы XX века. Его рассуждения...
-
Метод Колывагина-Флаха - Великая теорема Ферма
К лету 1991 года Уайлс проиграл сражение: теорию Ивасавы не удалось приспособить к решению проблемы. Он снова обратился к научным журналам и монографиям,...
-
Доказательство теоремы ошибочно - Великая теорема Ферма
Едва Уайлс закончил свою лекцию в Кембридже, как комиссию Вольфскеля известили о том, что Великая теорема Ферма, наконец, доказана. Премия не могла быть...
-
После семи лет работы в одиночку Уайлс наконец завершил доказательство гипотезы Таниямы-Шимуры и считал, что его мечта -- доказать Великую теорему Ферма...
-
В данной работе доказывается методами элементарной математики "большая" или "последняя" теорема Ферма. Некоторая, излишняя в обычных случаях, подробность...
-
"Доказана ли Великая теорема Ферма?" - Великая теорема Ферма
Был сделан лишь первый шаг на пути к доказательству гипотезы Таниямы-Шимуры, но избранная Уайлсом стратегия была блестящим математическим прорывом,...
-
Анализ условий образования эффективных объединений предприятий молочного подкомплекса АПК
Анализ условий образования эффективных объединений предприятий молочного подкомплекса АПК Несбалансированный процесс взаимоотношений между...
-
Синтаксис и семантика. Теорема Райса - Рекурсивные функции
Попробуем теперь проанализировать круг проблем, неразрешимость которых доказана в предыдущем пункте. Общим для них является то, что по кодам, т. е....
-
Эра загадок и головоломок - Великая теорема Ферма
С античных времен и поныне математики пытались придать занимательность своим учебникам, излагая теоремы и доказательства в форме решений числовых...
-
Адсорбция активированный уголь Развитие теории адсорбционных сил еще не достигло такой стадии, когда по известным физико-химическим свойствам газа и...
Теорема Пенлеве - Условия Фукса и теорема Пенлеве