Вступ, Необхідні відомості з теорії матриць - Невід'ємні матриці

Відомо [[1]-[10]], яку важливу роль відіграють невід'ємні матриці в математичних моделях економіки, біології, теорії ймовірностей тощо.

Одними з основоположних фактів теорії цих матриць є теореми Перрона. Перрона-Фробеніуса та Маркова. Доведення цих теорем в загальному випадку потребує застосування теорем з таких неелементарних розділів математики, як теорія екстремумів функції багатьох змінних, жорданова нормальна форма тощо.

Мета роботи дати елементарне доведення вищезгаданих теорем Перрона, Перрона-Фробеніуса та Маркова для матриць другого порядку, яке цілком доступне і для школярів 9-го класу. Це дозволить, наприклад, на заняттях шкільних математичних гуртків чи факультативів розглянути та проаналізувати змістовні математично-економічні та теоретико-ймовірносні моделі (наприклад, модель Леонтьєва, випадкове блукання на відрізку) з повним доведенням всіх тверджень.

Необхідні відомості з теорії матриць

Матриця розмірів m x n - це прямокутна таблиця чисел з m рядків та n стовпців. Позначається матриця так:

Квадратною матрицею n-го порядку зветься матриця розміром n x n. Важливою числовою характеристикою матриці є її визначник, який позначається detA. Для 2x2 матриці. Матриці А та В однакових розмірів називаються рівними, якщо їх відповідні елементи однакові, що записують так: А=В.

З матрицями можна здійснювати такі операції:

Множити на число

Приклад:

Додавати матриці однакових розмірів:

Приклад:

Множити матриці:

Приклад:

Взагалі, добутком матриці А розмірів m x r та матриці В розмірів r x n називається матриця С розмірів m x n, яка позначається АВ. Елемент cIj цієї матриці - це сума попарних добутків елементів i-го рядка матриці А та елементів j-го рядка матриці В, а саме:

Якщо А та В квадратні матриці однакового порядку, то їх завжди можна перемножити.

Квадратна матриця порядку n, у якої елементи, а інші елементи є нулями, називається одиничною матрицею порядку n. Одинична матриця має таку властивість: АЕ=ЕА=А, де А - квадратна матриця порядку n, Е - одинична матриця такого ж порядку.

Нехай А - квадратна матриця, тоді матриця А-1 зветься оберненою до матриці А, якщо

Не в кожної матриці є обернена до неї, а саме А-1 існує тоді і тільки тоді, коли.

Безпосередньо можна перевірити, що для

Визначення: Число називається власним значенням n x n матриці А, якщо знайдеться стовпчик такий, що АХ=Х. При цьому Х називається власним вектором матриці А, що відповідає власному значенню.

Якщо власний вектор Х відповідає власному значенню, то сХ, де с - const, також власний вектор, що відповідає. Власне значення є коренем характеристичного рівняння. Звідки видно, що не у кожної матриці є власні значення.

Визначення: Матриця А зветься додатною, якщо всі її елементи додатні, це позначається А>0.

Похожие статьи




Вступ, Необхідні відомості з теорії матриць - Невід'ємні матриці

Предыдущая | Следующая