Введение, Формулировка теоремы, Обозначения, Доказательство вспомогательных лемм - Об одной теореме теории чисел
В данной работе доказывается методами элементарной математики "большая" или "последняя" теорема Ферма.
Некоторая, излишняя в обычных случаях, подробность изложения доказательства объясняется желанием автора увеличить уверенность читателя в справедливости промежуточных результатов.
Теорема доказывается методом "от противного". Сначала предполагается выполнение основного равенства теоремы, а затем показывается нарушение основного равенства, приводящее к выполнению утверждения теоремы.
Формулировка теоремы
Теорема ферма алгебраическое число
В терминах современной математики формулировка теоремы следующая:
Для любого натурального числа
Уравнение
(1)
Не имеет натуральных решений.
Обозначения
- множество натуральных (целых, положительных) чисел;
- число принадлежит множеству, т. е. - целое и > 0;
Или
Наибольший Общий Делитель чисел, где - общие сомножители в разложении чисел на простые сомножители.
Примечание: Здесь и в дальнейшем символ "*" означает операцию умножения.
Если:
,
То числа - взаимно простые.
Свойство НОД: Если
, то, где.
Доказательство вспомогательных лемм
Лемма 1
Условие: Если существуют числа, для которых выполняется равенство (1), то существуют числа, для которых справедливо равенство:
(2)
И выполняются условия:
(3)
Доказательство:
Пусть есть числа, которые удовлетворяют условию леммы. Для чисел существует число. Тогда можно записать эти числа в виде:
, где.
Подставим числа в таком виде в равенство (1):
И, сократив на множитель, получаем равенство (2).
Докажем выполнение условия (3). Предположим, что, тогда:
И из равенства (2) получаем:
,
Что означает существование делителя для числа Z: .
Следовательно,
.
Но тогда
,
Что противоречит предположению.
Поэтому -
.
Аналогично доказывается выполнение условия
и.
Таким образом, мы получили числа, для которых выполняется равенство (2) и условия (3).
Лемма 1 доказана.
Примечание: Числа, полученные в Лемме 1, называются "примитивными" [1], для их получения достаточно определить НОД исходных чисел и разделить на него исходные числа.
Свойства "примитивных" чисел
(или ) (4)
Если допустить, что, то равенство (2) получает вид: и тогда. Поскольку при число не является целым, число не может содержать такого натурального сомножителя. Следовательно
Без нарушения общности далее будем считать, что.
(5)
Если допустить, что
,
Учитывая, что из равенства (2)
,
Получаем
.
Поскольку это противоречит условию 4.2.1 ( и ), следовательно.
Выполняется, поскольку и (из условия 4.2.1);
Если в равенстве (2) показатель степени, т. е. четное число, то:
; и (или и ) (6)
Если допустить, что
; и,
То подставив эти значения в равенство (2), разложив биномы на составляющие и сложив члены с равными коэффициентами, получаем:
+
Сократим в левой и правой части на 2 и учтем, что, тогда:
В левой части получаем НЕЧЕТНОЕ число, а в правой - ЧЕТНОЕ число, следовательно: X и Y не могут быть одновременно нечетными числами при.
Примечания:
- 1. В дальнейшем (при рассмотрении случая ) считается, что, т. е. является НЕЧЕТНЫМ числом. 2. В случае +1 свойство ЧЕТНОСТИ чисел не используется в доказательстве теоремы.
Лемма 2
Условие: Если для чисел выполняется равенство
(4.3.1)
И известно, что, справедливы равенства:
и (4.3.2)
Доказательство:
Условие означает, что числа не содержат одинаковых сомножителей в разложении на простые сомножители. Т. е. для чисел и для всех и справедливо неравенство.
Для выполнения равенство (4.3.1) необходимо, чтобы число содержало все сомножители, входящие в число, т. е. его разложение на простые сомножители имеет вид:
(4.3.3)
Для выполнения равенство (4.3.1) необходимо также, чтобы число содержало все сомножители, входящие в число, т. е. его разложение на простые сомножители имеет вид:
(4.3.4)
Это означает, что справедливы равенства и.
Следствия:
1. Подставив число из равенства (4.3.3) и число из равенства (4.3.4) в равенство (4.3.1), получаем:
,
Откуда
.
Следовательно:
и или и
2. Равенство означает, что
и тогда и.
Похожие статьи
-
Доказательство теоремы - Об одной теореме теории чисел
Доказательство теоремы проводится отдельно для случая, когда (т. е. показатель степени в равенстве (2) - НЕЧЕТНОЕ число) и когда (т. е. показатель...
-
Следствия теоремы, Послесловие к доказательству - Об одной теореме теории чисел
Не существует ЦЕЛЫХ чисел, для которых выполняется равенство (1). При четных значениях показателя степени уравнение вида (1) идентично как для...
-
Теорема 1. Предел постоянной равен самой постоянной. . Доказательство. f(x)=с, докажем, что . Возьмем произвольное e>0. В качестве d можно взять любое...
-
Месье Леблан - Великая теорема Ферма
К началу XIX века за Великой теоремой Ферма установилась устойчивая репутация самой трудной проблемы в теории чисел. После прорыва, осуществленного...
-
Запечатанные конверты - Великая теорема Ферма
После прогресса, достигнутого благодаря работам Софи Жермен, Французская Академия Наук установила серию премий, включая золотую медаль и 3000 франков,...
-
Введение, История теоремы - Великая теорема Ферма
Она заинтересовала меня тем, что на вид очень простая и казалось бы, решить ее может каждый школьник, но найти ее решение на протяжении 358 лет пытались...
-
Ряды конгруэнций - Формационные основы универсальных алгебр
5.1. Конечная цепь конгруэнции алгебры А вида (1) , Называется Рядом конгруэнций, а число -- Длиной ряда. Фактор алгебры называется Главным , если и из ,...
-
Доказательство теоремы Ферма Уважаемый Григорий Яковлевич! Обращается к Вам Черепанов Николай Михайлович, математик из Барнаула. В 2004 году, я...
-
Свойство 1. Вероятность достоверного события равна единице. Действительно, если событие достоверно, то каждый элементарный исход испытания...
-
Теоремы Ферма, Ролля, Лагранжа и Коши
Введение В данном реферате рассматриваются теоремы Ферма, Ролля, Лагранжа и Коши. "Теорема - высказывание, нравственность которого установлена при помощи...
-
Рождение проблемы - Великая теорема Ферма
Жизненно важным, поворотным пунктом в развитии западной математики стал 1453 год, когда турки разграбили Константинополь. За прежние годы рукописи,...
-
Принцип сходимости, Предел функции. Теорема Гейне - Свойства функций
Рассмотрим вопрос о существовании пределов последовательностей концевых точек бесконечной системы промежутков, вложенных друг в друга. Лемма Кантора ....
-
ОПРЕДЕЛЕНИЕ МЕТОДА ФАКТОРНОГО АНАЛИЗА И ЧИСЛА ФАКТОРОВ - Многомерный статистический анализ
Определение метода факторного анализа. Различные методы факторного анализа различаются в зависимости от подходов, которые используются для выделения...
-
Вероятность - математическая оценка возможности появления это события в результате опыта - обозначается Р (А).- при условии :0 ?Р (А)?1, Р (?...
-
Доказательство теоремы ошибочно - Великая теорема Ферма
Едва Уайлс закончил свою лекцию в Кембридже, как комиссию Вольфскеля известили о том, что Великая теорема Ферма, наконец, доказана. Премия не могла быть...
-
Евклидовы кольца - Евклидовость в математике
Кольцо целостности Е называется евклидовым, если на множестве Е можно определить функцию е, значение которой является целыми неотрицательными числами,...
-
Матрицы над евклидовым кольцом - Евклидовость в математике
Введем следующее определение: строку над евклидовым кольцом Е будем называть канонической, если, кроме главного элемента, все остальные ее элементы...
-
Математик-циклоп - Великая теорема Ферма
Создание математики -- занятие мучительное и таинственное. Объект доказательства часто бывает ясен, но путь к доказательству теряется в тумане, и...
-
Синтаксис и семантика. Теорема Райса - Рекурсивные функции
Попробуем теперь проанализировать круг проблем, неразрешимость которых доказана в предыдущем пункте. Общим для них является то, что по кодам, т. е....
-
Эндрю Уайлс во время обучения в колледже. Тайные вычисления - Великая теорема Ферма
"Однажды вечером, в конце лета 1986 года, я попивал чай в гостях у своего приятеля. В беседе он между прочим упомянул о том, что Кену Рибету удалось...
-
Эра загадок и головоломок - Великая теорема Ферма
С античных времен и поныне математики пытались придать занимательность своим учебникам, излагая теоремы и доказательства в форме решений числовых...
-
Уход в абстракцию - Великая теорема Ферма
После работ Эрнста Куммера надежды найти доказательство ослабли, как никогда прежде. Кроме того, в математике начали развиваться различные новые области....
-
В 2011 - 2015 гг. в серии статей в научных журналах и докладов на международных, зарубежных и всероссийских научных конференциях была представлена...
-
Ответ: y=f(kx) получается из Графика функции f(x) сжатием его вдоль оси ох в k раз, если k>1 и растяжением в 1 деленную на k раз, если k>0 но меньше 1....
-
Условия существования гамильтонова цикла - Гамильтоновы циклы
В отличие от эйлеровых графов, где имеется критерий для графа быть эйлеровым, для гамильтоновых графов такого критерия нет. Более того, задача проверки...
-
Пусть по окружности в некотором порядке расположены N единиц и нулей (исходное состояние S 0). Некоторые нули разрешается заменять на единицы в...
-
Конкретные модели процессов управления в социальных и экономических системах исходят из общей методологии, которую и формулируем в настоящей статье....
-
Вопросы по теории вероятностей - Случайные величины
Основные понятия теории вероятностей: события, вероятность события, частота события, случайная величина. Сумма и произведение событий, теоремы сложения и...
-
Введение - Применение теории массового обслуживания
Математическое моделирование Одним из видов формализованного знакового моделирования является математического моделирование, осуществляемое средствами...
-
Интегральная теорема Муавра-Лапласа
Предположим, что в условиях схемы Бернулли проводится испытаний, в результате каждого из которых с вероятностью () происходит событие. Интегральная...
-
В теории чисел большую роль играет числовая функция, называемая функцией Эйлера. Определение 3.1. Функцией Эйлера называется функция, определенная на...
-
Проблема идентификации - Основы эконометрики
При переходе от приведенной формы модели к структурной эконометрии сталкивается с проблемой идентификации. Идентификация - это единственность...
-
Теорема Клини о нормальной форме - Рекурсивные функции
Существуютпримитивнорекурсивныефункция u и примитивно разрешимый предикат T такие, что e, x ( E(x)=p ( k [T(e, x,k)])). В частности, e, x ( E(x) k T(e,...
-
Пусть - один и тот же опыт повторяется n-раз, не зависимо от результатов; в любом опыте может наступить событие А с вероятностью p, либо событие A с...
-
Введение - Основные понятия теории вероятностей
Каждая наука, развивающая общую теорию какого-либо круга явлений, содержит ряд основных понятий, на которых она базируется. Таковы, например, в геометрии...
-
Снова великая теорема Ферма! - Великая теорема Ферма
Сегодня в доказательстве великой теоремы Ферма произошел поистине поразительный сдвиг. Наум Элькис (профессор Гарвардского университета) заявил, что...
-
В потемках - Великая теорема Ферма
Уайлс, о котором мир тогда еще ничего не знал, с облегчением вздохнул. Великая теорема Ферма по-прежнему оставалась непобежденной, и он мог продолжать...
-
"Доказана ли Великая теорема Ферма?" - Великая теорема Ферма
Был сделан лишь первый шаг на пути к доказательству гипотезы Таниямы-Шимуры, но избранная Уайлсом стратегия была блестящим математическим прорывом,...
-
Дуэль с бесконечностью - Великая теорема Ферма
Чтобы доказать Великую теорему Ферма, Уайлсу было необходимо сначала доказать гипотезу Таниямы-Шимуры о том, что каждой эллиптической кривой можно...
-
Актуальность исследования Цель исследования: Изучение теоретических и практических аспектов евклидовости в математике Задачи исследования: 1. Изучить...
Введение, Формулировка теоремы, Обозначения, Доказательство вспомогательных лемм - Об одной теореме теории чисел