Введение, Формулировка теоремы, Обозначения, Доказательство вспомогательных лемм - Об одной теореме теории чисел

В данной работе доказывается методами элементарной математики "большая" или "последняя" теорема Ферма.

Некоторая, излишняя в обычных случаях, подробность изложения доказательства объясняется желанием автора увеличить уверенность читателя в справедливости промежуточных результатов.

Теорема доказывается методом "от противного". Сначала предполагается выполнение основного равенства теоремы, а затем показывается нарушение основного равенства, приводящее к выполнению утверждения теоремы.

Формулировка теоремы

Теорема ферма алгебраическое число

В терминах современной математики формулировка теоремы следующая:

Для любого натурального числа

Уравнение

(1)

Не имеет натуральных решений.

Обозначения

- множество натуральных (целых, положительных) чисел;

- число принадлежит множеству, т. е. - целое и > 0;

Или

Наибольший Общий Делитель чисел, где - общие сомножители в разложении чисел на простые сомножители.

Примечание: Здесь и в дальнейшем символ "*" означает операцию умножения.

Если:

,

То числа - взаимно простые.

Свойство НОД: Если

, то, где.

Доказательство вспомогательных лемм

Лемма 1

Условие: Если существуют числа, для которых выполняется равенство (1), то существуют числа, для которых справедливо равенство:

(2)

И выполняются условия:

(3)

Доказательство:

Пусть есть числа, которые удовлетворяют условию леммы. Для чисел существует число. Тогда можно записать эти числа в виде:

, где.

Подставим числа в таком виде в равенство (1):

И, сократив на множитель, получаем равенство (2).

Докажем выполнение условия (3). Предположим, что, тогда:

И из равенства (2) получаем:

,

Что означает существование делителя для числа Z: .

Следовательно,

.

Но тогда

,

Что противоречит предположению.

Поэтому -

.

Аналогично доказывается выполнение условия

и.

Таким образом, мы получили числа, для которых выполняется равенство (2) и условия (3).

Лемма 1 доказана.

Примечание: Числа, полученные в Лемме 1, называются "примитивными" [1], для их получения достаточно определить НОД исходных чисел и разделить на него исходные числа.

Свойства "примитивных" чисел

(или ) (4)

Если допустить, что, то равенство (2) получает вид: и тогда. Поскольку при число не является целым, число не может содержать такого натурального сомножителя. Следовательно

Без нарушения общности далее будем считать, что.

(5)

Если допустить, что

,

Учитывая, что из равенства (2)

,

Получаем

.

Поскольку это противоречит условию 4.2.1 ( и ), следовательно.

Выполняется, поскольку и (из условия 4.2.1);

Если в равенстве (2) показатель степени, т. е. четное число, то:

; и (или и ) (6)

Если допустить, что

; и,

То подставив эти значения в равенство (2), разложив биномы на составляющие и сложив члены с равными коэффициентами, получаем:

+

Сократим в левой и правой части на 2 и учтем, что, тогда:

В левой части получаем НЕЧЕТНОЕ число, а в правой - ЧЕТНОЕ число, следовательно: X и Y не могут быть одновременно нечетными числами при.

Примечания:

    1. В дальнейшем (при рассмотрении случая ) считается, что, т. е. является НЕЧЕТНЫМ числом. 2. В случае +1 свойство ЧЕТНОСТИ чисел не используется в доказательстве теоремы.

Лемма 2

Условие: Если для чисел выполняется равенство

(4.3.1)

И известно, что, справедливы равенства:

и (4.3.2)

Доказательство:

Условие означает, что числа не содержат одинаковых сомножителей в разложении на простые сомножители. Т. е. для чисел и для всех и справедливо неравенство.

Для выполнения равенство (4.3.1) необходимо, чтобы число содержало все сомножители, входящие в число, т. е. его разложение на простые сомножители имеет вид:

(4.3.3)

Для выполнения равенство (4.3.1) необходимо также, чтобы число содержало все сомножители, входящие в число, т. е. его разложение на простые сомножители имеет вид:

(4.3.4)

Это означает, что справедливы равенства и.

Следствия:

1. Подставив число из равенства (4.3.3) и число из равенства (4.3.4) в равенство (4.3.1), получаем:

,

Откуда

.

Следовательно:

и или и

2. Равенство означает, что

и тогда и.

Похожие статьи




Введение, Формулировка теоремы, Обозначения, Доказательство вспомогательных лемм - Об одной теореме теории чисел

Предыдущая | Следующая