Нескінченно мала й нескінченно велика величини - Основи вищої математики

Визначення. Змінна N, що має межу рівну 0, називається нескінченно малою величиною, якщо для кожного >0 знайдеться n0 таке, що |N |< (N>N0). Для того, щоб змінна хN мала межу "а", необхідно й досить, щоб хN=а+N, де N -- нескінченно мала величина.

Змінна N називається нескінченно великою величиною, якщо для будь-якого М>0 знайдеться таке N0, що |n|>M при (N>N0). Тоді пишуть limN= або N. Може бути як +, так й --.

Деякі властивості:

    1. Якщо змінна ХN обмежена, а YN дорівнює нескінченно великій, то. 2. Якщо |ХN| обмежена знизу позитивним числом, а YN0 нескінченно мала, то.

Зауваження. Будь-яка не рівна нулю постійна величина (послідовність) не є нескінченно малою. Із всіх постійних величин нескінченно малою є тільки одна прагнуча до нуля. Якщо відомо, що деяка величина постійна і її абсолютна величина менше кожного >0, то вона дорівнює А.

Теорема 1. Добуток нескінченно малої послідовності на обмежену величину є нескінченно малою послідовністю, тобто якщо LimxN=0 й |YN|=М, то limxNYN=0.

Порівняємо нескінченно малі величини.

Нехай одночасно трохи нескінченно малих величин, , , ... є функціями того самого аргументу Х і прагнуть до нуля при прагненні Х до деякої Const="А", тобто LimxN=A або до. Охарактеризуємо прагнення цих змінних до нуля, розглянемо їхні відносини (нескінченно мала в знаменнику не дорівнює нулю в околиці А).

Визначення 1. Якщо / має кінцеву межу не рівну нулю, тобто lim/=A0, а отже lim/=1/A0, то нескінченно малі і Називаються нескінченно малими Одного порядку.

Визначення 2. Якщо відношення двох нескінченно малих /0, тобто lim/=0, то називається нескінченно малою Величиною вищого порядку, ніж нескінченно мала, що називається нескінченно малою Нижчого Порядку, ніж нескінченно мала.

Визначення 3. Нескінченно мала називається нескінченно малою k-го порядку відносно нескінченно малої, якщо і -- нескінченно малі одного порядку (рівносильні нескінченно малі), тобто якщо lim/K=A0.

Визначення 4. Якщо відношення двох нескінченно малих /1, тобто якщо lim/=1, то нескінченно малі і називаються Еквівалентними нескінченно малими й пишуть.

Теорема 2. Якщо і - еквівалентні нескінченно малі, то їхня різниця (-- ) є нескінченно малою вищого порядку, ніж і.

Теорема 3. Якщо різниця двох нескінченно малих (--) є нескінченно мала вищого порядку, ніж і, то і еквівалентні нескінченно малі.

Похожие статьи




Нескінченно мала й нескінченно велика величини - Основи вищої математики

Предыдущая | Следующая