Розкриття невизначеностей. Формула Тейлора - Основи вищої математики

1. Невизначеність виду 0/0.

Теорема 1 (Правило Лопіталя - Гійом 1661-1704 р., французький математик, автор першого друкованого підручника по диференціальному численню). Нехай дві функції F(Х) і (Х) визначені й диференційовні всюди в деякій околиці точки А, за винятком самої точки А. І нехай

. (2.1)

І (x)0 у зазначеній вище околиці точки а. Тоді якщо існує (скінченне або нескінченне) граничне значення, то існує й граничне значення й справедливе формула

= (2.2)

І можна далі.

Ця теорема вірна й при Х.

2. Невизначеність виду / .

Будемо говорити, що відношення 2-х функцій являє собою при Ха невизначеність виду /, якщо

. (2.3)

Для розкриття цієї невизначеності, тобто для обчислення справедливе твердження: якщо у формулюванні Теореми 1 замінити вимоги на умову (2.3), те теорема виявиться справедливою.

3. Розкриття невизначеностей інших видів.

Крім вивчених вище невизначеностей виду 0/0 й /, часто зустрічаються інші види: 0, , 1, 00, 0 і т. д. Всі ці невизначеності необхідно звести до виду, вивченому нами, тобто до 0/0 або / шляхом алгебраїчного перетворення.

4. Формула й теорема Тейлора (Тейлор Брук 1685-1731 р., англійський математик. Знайшов формулу для розкладання функцій у статечні ряди).

Ця формула є однією з основних формул математичного аналізу й має численні додатки як в аналізі, так й у складних дисциплінах.

Теорема Тейлора. Нехай функція F(Х) має в деякій околиці точки "А" похідну порядку (N+1), де N - будь-який фіксований номер. Нехай далі Х - будь-яке значення аргументу із зазначеної околиці, Р - довільне позитивне число. Тоді між точками А й Х знайдеться точка C - така, що справедлива формула

(2.4)

Де

. (2.5)

Формула (2.4) називається формулою Тейлора (із центром у точці А), а (2.5) називається залишковим членом, він може бути записаний й в іншому вигляді. Прийнято називати залишковий член, записаний у вигляді (2.5), Залишковим Членом У загальній формі або формі Шлемільха-Роша.

Формула Тейлора в центром у точці А=0 називається формулою Маклорена (Колін 1698-1746 р., шотландський математик, праці по матаналізу, теорії кривих, механіці).

Похожие статьи




Розкриття невизначеностей. Формула Тейлора - Основи вищої математики

Предыдущая | Следующая