Найважливіші криві другого порядку, Системи координат: полярна, циліндрична й сферична - Основи вищої математики

І. Визначення: Окружністю називається множина всіх точок площини, що перебувають на однаковій відстані, названій Радіусом, від фіксованої точки, названої Центром окружності.

Виведемо рівняння окружності радіуса R із центром у точці З0(Х0,Y0) (мал. 1) Для будь-якої точки М(Х,Y) окружності маємо СМ=R або СМ 2=R2. Тоді одержуємо рівняння окружності:

(Х-х0)2+(Y--Y0)2=R2. (15.1)

Якщо центр окружності розташований на початку координат, тобто Х0=0, Y0=0, то рівняння окружності приймає вид

X2+y2=R2 (15.2)

І називається Канонічним.

ІІ. Визначення: Еліпсом називається множина точок площини, сума відстаней від яких до двох даних точок, названих Фокусами, є величина постійна.

Нехай ця Const=2А, а фокуси є точки F1(-C,0) і F2(C,0). Для будь-якої точки М(Х,Y) еліпса відстань від фокусів є

(15.3)

Але R1+R2=2A=Const, тоді

R1=2A--R2; .

Звідки

Або

4Ar2=(X--C)2+Y2--(X+C)2--Y2+4A2, 4Ar2= --4Cx+4A2 Ar2=A2--Cx;

; A2[(X--C)2+Y2]=A4--2A2Cx+X2C2.

Звідси

A2X2--2A2Cx+A2C2+A2Y2=A4+2A2Cx+X2C2,

(A2--C2)X2+A2Y2=A2(A2--C2). (15.4)

Якщо A>C, то позначивши А2-с2=B2, де А<С<B, і розділивши (15.4) на А2B2 одержимо:

(15.5)

Канонічне рівняння еліпса.

Відповідно до цього рівняння еліпс симетричний щодо осей координат. Позитивні числа А й B називають Великою й Малою Півосями еліпса, а число =С/а -- називають Ексцентриситетом еліпса. При =0 А=B, С=А й еліпс перетворюється в окружність радіуса А. При =1 маємо А=С, B=0 й еліпс вироджується у відрізок (F1F2).

ІІІ. Визначення: Параболою називається множина крапок площини, рівновіддалених від даної точки F, названої Фокусом, і від даної прямої m, так званою Директрисою (мал. 3).

Нехай F(Р/2,0) -- фокус параболи, а пряма M вертикальна й проходить через точку (-Р/2,0), симетричну фокусу щодо вертикальної осі координат. Нехай М(Х,Y) -- довільна точка параболи, тоді МN=Х+Р/2 -- відстань цієї точки від директриси, а -- відстань від фокуса.

По визначенню параболи ці відстані рівні, тобто

.

Звідси одержуємо рівняння параболи

Y2=2Px. (15.6)

Однак частіше доводиться мати справу зі звичайним рівнянням параболи, відомим зі школи

Y=Ax2+Bx+C, (15.7)

Де А, B, С параметри параболи.

IV. Визначення: Гіперболою називається множина всіх точок площини, різниця відстаней від яких до двох даних точок F1 й F2, названих Фокусами, є величина постійна (мал. 4).

Нехай ця величина дорівнює 2А. Якщо F1(-З,0), F2(З,0) -- фокуси гіперболи й М(Х,Y) -- довільна точка гіперболи, то відстані від цієї точки до фокусів рівні

(15.8)

По визначенню гіперболи |R1--R2|=2А або R1--R2=2а. Перетворюючи цей вираз одержуємо канонічне рівняння гіперболи

. (15.9)

При цьому С2-а2=B2. Відповідно до цього рівняння гіпербола симетрична щодо осей координат.

Поняття: еліпсоїд, параболоїд, гіперболоїд і конічні перетини.

Системи координат: полярна, циліндрична й сферична

І. Полярна система

О -- полюс, ОА -- полярна вісь. Полярними координатами називаються числа і, де -- перша координата або Полярний радіус, число -- друга координата або Полярний кут.

Формули переходу декартова полярна

(16.1)

І навпаки

. (16.2)

ІІ. Циліндрична система

-- радіус, -- кут у площині, Z -- вертикально

(16.3)

ІІІ. Сферичні координати

(16.4)

Похожие статьи




Найважливіші криві другого порядку, Системи координат: полярна, циліндрична й сферична - Основи вищої математики

Предыдущая | Следующая