Точки розриву і їхня класифікація. Теореми про безперервні функції - Основи вищої математики

Якщо функція F така, що для неї існують межі F(А+0) і F(А--0), однак F(А)F(А+0)F(А--0), то, мабуть, вона нерозривна (не безперервна) у точці "А". У цьому випадку говорять, що функція F у точці "А" має Розрив першого роду.

На мал. 1-6 наведено 6 графіків функцій, що мають розрив першого роду в точці "А". Буква А позначає точку А=[А,F(А)] графіка функцій. Стрілка на кінці кривої позначає, що кінцева точка, де перебуває стрілка, викинута.

На мал. 1-4 дані графіки, для яких всі три числа F(А), F(А+0), F(А--0) мають сенс. На мал. 1 три точки F(А), F(А+0) і f(А--0) -- попарно різні -- функція не тільки розривна в "А", але розривна праворуч і ліворуч.

На мал. 2 функція безперервна ліворуч в "А", але розривна праворуч. На мал. 3 -- навпаки. На мал. 4 F(А+0)=F(А--0)F(А). У цьому випадку говорять, що функція F має в точці А розрив, який можна прибрати, тобто її можна видозмінити в точці "А", поклавши F(А)=F(А+0)=F(А--0) і вона зробиться безперервною в цій точці.

На мал. 5 функція не визначена в точці "А".

На мал. 6 функція теж не визначена в точці "А", але F(А+0)=F(А--0), тому якщо довизначити у цій точці, поклавши F(А)=F(А+0)F(А--0), то F стане безперервною в точці А.

Якщо у функції F не існує правої або лівої межі в точці "А" або не існує обох, або ж ці межі Рівні нескінченності, то говорять, що вона має Розрив другого роду в цій точці.

Теорема 1. Якщо функції f й безперервні в точці х=а, то безперервні також у цій точці їхня сума, різниця, добуток і частка (при (а)0).

Теорема 2. Нехай задана функція F(U), безперервна в точці U=А, і ще інша функція U=(Х), безперервна в точці Х=А й нехай (А)=А. Тоді складна функція F(Х) =F[(Х)] безперервна в точці Х=А.

Теорема 3. Якщо функція f безперервна в точці "а", то існує околиця U(а) цієї точки, на якій f обмежена.

Теорема 4. Якщо функція F безперервна в точці "А" й F(А)0, то існує околиця U(А) точки "А", на якій. Більше того, якщо F(А)>0, то F(А)/2<F(Х), а якщо F(А)<0, то F(Х) <F(А)/2.

Теорема 5. (Вейерштраса - Карл Теодор Вільгельм (1815-1897), німецький математик, іноземний член Петербурзької АН (1864). Праці по матаналізу, теорії функції, варіаційному обчисленню, диференціальній геометрії й лінійній алгебрі). Для кожної функції безперервної на інтервалі [A,B] існує M=Minf(Х) і М=Maxf(Х), де Х[A,B].

Похожие статьи




Точки розриву і їхня класифікація. Теореми про безперервні функції - Основи вищої математики

Предыдущая | Следующая