Правила диференціювання - Математичний аналіз
Операція знаходження похідної від даної функції називається диференціюванням цієї функції. Доведемо ряд теорем, які дають основні правила знаходження похідних від функцій.
Похідна від суми.
Теорема. Якщо функції в точці мають похідні, то функція також в цій точці має похідну і ця похідна дорівнює
. (6.16)
Похідна від суми скінченого числа функцій дорівнює сумі похідних від цих функцій, якщо похідні даних функцій існують,
Пусть U(х) и V(х) дифференцируемы в точке х.
- (U(x) + V(x))' = U'(x) + V'(x) (U(x) * V(x))' = U'(x) * V'(x) + V'(x) * U'(x) (C*U(x))' = CU'(x), C - const (U(x) / V(x))' = [U'(x) * V(x) - V'(x) * U(x)]/ V2(x)
Похідна складеної ф-ії
Ф-ія f(t) визначена на множині Т, а ф-ія t=g(x) визначена на множ. Х.
Доведення.
Надамо т. x0 приросту, так, щоб Тоді ф-ія t=g(x) одержить в т. х0 приріст t, який дорівнює g(x0+x)-g(x0)=t. Одержане значення t будемо розглядати як приріст аргументу t в т. t0. Тоді ф-ія f(t) в т. t0 одержить приріст
Це є приріст складеної ф-ії в т. х0.
- 1) Оскільки ф-ія f(t) диференційовна в т. t0 то за т. про приріст ф-ії що має похідну: 2) Оскільки існує похідна ф-ії g в
Т. х0 то за необхідною умовою існування похідної, ф-ія g(x) в т. х0 неперервна. Звідси за означ. неперервності ф-ії в т. на мові приростів маємо
Розглянемо відношення
Переходячи до границі при х0, маємо:
Що і треба було довести.
Похідна оберненої ф-ії
Т. Якщо існує похідна прямої ф-ії в т. х0 і вона 0, тоді буде існувати похідна оберненої ф-ії x=g(y) в т. y0=f(x0), -
Доведення.
Надамо точці х0 приросту х так щоб (х+х) Х, тоді ф-ія y=f(x) набуває в т. х0 приросту y=f(x0+x)-f(x0).
Розглянемо відношення Оскільки за умовою існує похідна ф-ії в т. х0, то за необхідною умовою існування похідної
Перейдемо в рівнянні (1) до границі
C' = 0, C - const.
X' = 1
- (xБ)' = б xБ - 1, б Є R (aX)' = aX lnx, a>0 , a?1 (ln x)' = 1/x (sin x)' = cos x (cos x)' = - sin x (tg x)' = 1/(cos x)2 (ctg x)' = - 1/(sin x)2 (arcsin x)' = 1/2) (arccos x)' = - 1/2) (arctg x)' = 1/(1 + x2) (arcctg x)' = - [1/(1 + x2)]
Похожие статьи
-
Диференціал функції y = f (x) в точці х називається головна частина її приросту, рівна добутку похідної функції на приріст аргументу, і про-значущих dy...
-
Аргумент, функція, похідна - Математичний аналіз
Різниця між двома аргументами називається приростом аргументу. Приростом функції називається різниця між двома значеннями функції. Нехай в деякому околі...
-
Теорема 1. Нехай послідовності (хП) і (уП) мають відповідно границі а і b. Тоді послідовність (xN+yN) має границю а + b. Теорема 2. Нехай послідовності...
-
Символічно позначається. Границя числової посл. Число а-границя числ. посл. xN, якщо {xN-a}-н. м. >0N:nN:{xN-a}< A-<xN<a+ Послідовності, що...
-
Функцією у = f(x) називається така відповідність між множинами D і Е, при якій кожному значенню змінної х відповідає одне й тільки одне значення змінної...
-
Теорема Ферма - Математичний аналіз
Якщо ф-я диф. в деякому околі Т. х0 і досягає в ній екстремума, то похідна = 0. Доведення: Нехай ф. досягає в екстремума в т. х0, тоді існує окіл т. х0,...
-
Неск. малі і великі функції - Математичний аналіз
Функція н. м., якщо її границя =0. Зауваження 1: Для неск. малих функцій властива неск. кількість елементів. Зауваження 2: Якщо функція має границю в т....
-
Абсолютні та відносні характеристики інтенсивності динаміки - Аналіз інтенсивності динаміки
Абсолютний приріст (зменшення) T - це показник ряду динаміки, який характеризує на скільки одиниць змінився поточний рівень показника порівняно з рівнем...
-
Графіки, що ілюструють зміну статистичних явищ у часі, називаються Динамічними . Для зображення динаміки явищ використовують лінійні, стовпчикові,...
-
Якщо абсолютна та відносна швидкість динаміки у межах періоду, що вивчається, неоднакова, порівнянням однойменних характеристик за різні інтервали часу...
-
Статистичний аналіз використання паливно енергетичних ресурсів Запорізької області за 2012-2016 рр
Статистичний аналіз використання паливно енергетичних ресурсів Запорізької області за 2012-2016 рр. Енергетика - одна з найголовніших сфер економіки, від...
-
Теорема 1. Похідна від функції logax дорівнює, тобто якщо y=logax, то . (11.1) Теорема 2. Похідна від sinx є cosx, тобто якщо y=sinx, то Y =cosx. (11.2)...
-
Теорема 1. Похідна Const =0, тобто якщо Y = С, те Y =0, де С = Const . Y = С -- пряма паралельна осі ОХ й Tg =0, тобто F ( Х) =0. Теорема 2. Постійний...
-
Похідна. Її фізична (механічна) і геометрична інтерпретація - Основи вищої математики
І. Вважаючи, що X 0, розглянемо в даній фіксованій точці " Х " відношення приросту функції в цій точці до відповідного приросту аргументу Х . (7.1) (7.1)...
-
Середній рівень динамічного ряду - середня, обчислена на основі рівнів динамічного ряду. Особливості розрахунку залежать від виду ряду динаміки і...
-
Кристали сульфіду цинку, активовані іонами Мn2+, досліджуються вже досить давно. Будь-яке дослідження спектрів ФЛ кристалів, буде далеко не повним без...
-
Технічний аналіз Технічний аналіз являє собою вивчення минулих змін ціни з метою передбачення її майбутніх змін. Ціна є найважливішим статистичним...
-
В цьму методі, атом з проміжного стану збудження під границю іонізації в рідберговський стан і потім іонізується імпульсом електричного поля. Дослідження...
-
Схеми ступінчатої фотоіонізації. - Лазерний атомно-фотоіонізаційний спектральний аналіз
В методі лазерної багатоступінчатої фотоіонізації атоми збуджуються лазерним випромінюванням в проміжний високолижачий стан в одну або декілька супінів,...
-
Загальна характеристика підприємства ТОВ "МегаТоп" є спеціалізованим підприємством з виробництва спеціальних видів взуття. Виробництво зазначеного взуття...
-
Використана література: - Лазерний атомно-фотоіонізаційний спектральний аналіз
Лазерная аналитическая спектроскопия "НАУКА" Москва 1986 Подані посилання на наступну літературу: Беков Г. И. Егоров А. С.- ЖАХ 1983 т. 8 ст. 429. Акилов...
-
Операційна система планує час процесора відповідно до пріоритету потоків. Коли потік створюється, йому призначається пріоритет, відповідний пріоритету...
-
Аналіз біологічних об'єктів. - Лазерний атомно-фотоіонізаційний спектральний аналіз
Виявлення "слідових" кількостей металів в біологічних об'єктах є на сьогодні однією з актуальних аналітичних задач, важливих як для біології так і...
-
Загальна характеристика ТОВ "Цегельний завод ім. М. Г Миндру" Загальні положення Товариство з обмеженою відповідальністю "Цегельний завод ім. М. Г...
-
Розвиток будь-якого підприємства потребує визначення його реального планування та ефективності його фінансово-господарської діяльності, у зв'язку з чим...
-
Из истории комбинаторики - Правила комбинаторики
Комбинаторика занимается различного вида соединениями, которые можно образовать из элементов конечного множества. Некоторые элементы комбинаторики были...
-
Пусть функция определена в промежутке Х (рис.1). Исходя из некоторого значения независимой переменной, придадим ему приращение, не выводящее его из...
-
Статистический средний индекс Статистические индексы - Это обобщающие относительные показатели, характеризующие изменение величины явления простого или...
-
Метод сравнения является универсальным методом и применяется во всех разделах статистики (метод сравнения средних, оценивания неизвестных параметров и...
-
Кореляційно-регресивний аналіз - це класичний метод стохастичного моделювання господарської діяльності. Він вивчає взаємозв'язки показників господарської...
-
Математически строго аддитивны только массы смешиваемых тел, но иногда аддитивные объемы, а также молекулярные массы. Касаемо структуры молекул, правило...
-
Побудова та аналіз простої лінійної економетричної моделі
Мета - закріплення теоретичного матеріалу та здобуття практичних навичок побудови та аналізу однофакторної економетричної моделі й перевірки її...
-
1. Пусть интегрируемая на сегменте функция неотрицательна на этом сегменте. Тогда: . 2. Если функция интегрируемая на сегменте и, то: . 3. Если функция...
-
Правила построения рядов динамики - Методы анализа основной тендеции развития в рядах динамики
При построении динамических рядов необходимо соблюдать определенные правила: основным условием для получения правильных выводов при анализе рядов...
-
Існує досить багато різноманітних методик оцінки фінансового планування підприємства. Найчастіше застосовуються методики на основі фінансових...
-
Зависимость скорости реакции от температуры определяется правилом Вант-Гоффа : При повышении температуры на каждые 10о скорость большинства реакций...
-
Для кращого розуміння і аналізу зміни досліджуваних явищ у часі статистичні дані, що їх характеризують, необхідно систематизувати у хронологічному...
-
Небезпечні та шкідливі виробничі фактори, що виникають під час експлуатації установок кріогенної техніки (УКТ) поділяють на загальні та специфічні,...
-
В основі методології фінансово-економічного аналізу лежить діалектичний метод, тобто економічні явища, що вивчаються, аналізуються, розглядаються у...
-
Даний підхід являє собою прогнозування попиту на продукцію вугільної промисловості регіону на основі показників, що випереджують його в часі. Найбільш...
Правила диференціювання - Математичний аналіз