Правила диференціювання - Математичний аналіз

Операція знаходження похідної від даної функції називається диференціюванням цієї функції. Доведемо ряд теорем, які дають основні правила знаходження похідних від функцій.

Похідна від суми.

Теорема. Якщо функції в точці мають похідні, то функція також в цій точці має похідну і ця похідна дорівнює

. (6.16)

Похідна від суми скінченого числа функцій дорівнює сумі похідних від цих функцій, якщо похідні даних функцій існують,

Пусть U(х) и V(х) дифференцируемы в точке х.

    (U(x) + V(x))' = U'(x) + V'(x) (U(x) * V(x))' = U'(x) * V'(x) + V'(x) * U'(x) (C*U(x))' = CU'(x), C - const (U(x) / V(x))' = [U'(x) * V(x) - V'(x) * U(x)]/ V2(x)

Похідна складеної ф-ії

Ф-ія f(t) визначена на множині Т, а ф-ія t=g(x) визначена на множ. Х.

Доведення.

Надамо т. x0 приросту, так, щоб Тоді ф-ія t=g(x) одержить в т. х0 приріст t, який дорівнює g(x0+x)-g(x0)=t. Одержане значення t будемо розглядати як приріст аргументу t в т. t0. Тоді ф-ія f(t) в т. t0 одержить приріст

Це є приріст складеної ф-ії в т. х0.

    1) Оскільки ф-ія f(t) диференційовна в т. t0 то за т. про приріст ф-ії що має похідну: 2) Оскільки існує похідна ф-ії g в

Т. х0 то за необхідною умовою існування похідної, ф-ія g(x) в т. х0 неперервна. Звідси за означ. неперервності ф-ії в т. на мові приростів маємо

Розглянемо відношення

Переходячи до границі при х0, маємо:

Що і треба було довести.

Похідна оберненої ф-ії

Т. Якщо існує похідна прямої ф-ії в т. х0 і вона 0, тоді буде існувати похідна оберненої ф-ії x=g(y) в т. y0=f(x0), -

Доведення.

Надамо точці х0 приросту х так щоб (х+х) Х, тоді ф-ія y=f(x) набуває в т. х0 приросту y=f(x0+x)-f(x0).

Розглянемо відношення Оскільки за умовою існує похідна ф-ії в т. х0, то за необхідною умовою існування похідної

Перейдемо в рівнянні (1) до границі

C' = 0, C - const.

X' = 1

    (xБ)' = б xБ - 1, б Є R (aX)' = aX lnx, a>0 , a?1 (ln x)' = 1/x (sin x)' = cos x (cos x)' = - sin x (tg x)' = 1/(cos x)2 (ctg x)' = - 1/(sin x)2 (arcsin x)' = 1/2) (arccos x)' = - 1/2) (arctg x)' = 1/(1 + x2) (arcctg x)' = - [1/(1 + x2)]

Похожие статьи




Правила диференціювання - Математичний аналіз

Предыдущая | Следующая