Похідна в економіці - Основи вищої математики

Розглянемо однофакторну або одноресурсну похідну функцію Y=F(Х), що дає об'єм виробленої продукції за одиницю часу залежно від об'єму Х витраченого ресурсу. Цим ресурсом може бути -- кількість живої людської праці, вираженого у вигляді людино-годин або числа працівників. Нехай число працівників дорівнює А. Звичайно виробничі функції диференційовні, так що

F(A+1)=F(A)+F (A). (8.1)

Якщо число працівників "А" велике, то рівність (8.1) досить точна. Але що тоді вкладається в зміст F (А)? Це не що інше, як додаткова продукція, вироблена новим співробітником за одиницю часу.

Нехай -- ціна одиниці продукції, а Р -- зарплата працівника за одиницю часу. Тоді, якщо F (А)>Р, то треба найняти ще одного працівника, тому що він приносить фірмі більше, ніж вона йому платить. Це правило має універсальний характер і називається Золотим правилом економіки.

У загальному випадку похідну виробничої функції в точці А в економіці називають Граничною продуктивністю праці, на відміну від середньої, котра дорівнює F(А)/А.

Розглянемо деякі функції й визначимо економічний зміст їхніх похідних.

    1. Функція попиту D=D(P) -- залежність попиту D на деякий товар від його ціни Р. Похідна D'(Р) дає приблизно збільшення попиту при збільшенні ціни на одиницю часу. Але тому що відомо, що при підвищенні ціни попит зменшується, то насправді абсолютне значення похідній показує зменшення попиту з боку покупців на товар при підвищенні його ціни на одну одиницю. 2. Функція пропозиції S=S(Р) -- залежність пропозиції деякого товару від його ціни Р. Похідна S (Р) дає приблизне збільшення пропозиції товару з боку продавців (виробників) при збільшенні ціни на одну одиницю. 3. Функція корисності U(Х) -- суб'єктивна числова оцінка даним індивідом корисності кількості товару (Х) для нього. Похідна U(Х) дає приблизно оцінку додаткової корисності від придбання ще однієї одиниці товару. 4. Податкова ставка -- залежність податку N в % від величини річного доходу Q. Нехай Р -- саме значення податку, яке треба платити з річного доходу QP. Тоді Р і є податкова ставка N.

В економіці важливі питання, на скільки % зміниться попит на товар, якщо ціна на нього збільшиться на 1%? На скільки % зміниться пропозиція товару, якщо ціна на нього збільшиться на 1%. Такі питання й відповіді на них уводять нове поняття "еластичність функції по аргументу" або відносна похідна.

Розглянемо функцію Y=F(Х). Нехай Х -- приріст аргументу, F(Х) -- відповідний приріст функції. Тоді Х/х -- відносна зміна аргументу, -- відносна зміна функції. Величина -- відношення відносної зміни функції до відносної зміни аргументу -- називається Середньою еластичністю функції по аргументу на відрізку [Х,Х+Х], а межа цього відношення при Х0, тобто

. (8.2)

Називається Еластичністю функції Y по аргументу в точці Х і позначається .

Отже, якщо еластичність попиту на товар за ціною дорівнює 2, це означає, що при підвищенні даної ціни на 1%, попит зменшиться на 2%. А якщо еластичність випуску продукції по праці дорівнює 2%, це означає, що для збільшення випуску продукції на 1% треба збільшити кількість працівників на 2%.

Приклад: Для функції попиту D=40--2P. Знайти еластичність попиту за ціною при Р=4.

Рішення: .

Похожие статьи




Похідна в економіці - Основи вищої математики

Предыдущая | Следующая