Асимптоти. Вертикальні й горизонтальні - Основи вищої математики

Якщо відстань ОМ від деякої точки О до точки, що Рухається, М, то Відстань О1М, на яку Точка М віддаляється від якої-небудь іншої нерухомої Крапки О1 теж прагне до нескінченності. Тоді можна сказати, що точка М віддаляється в.

Рис.1

Визначення: Пряма АВ називається асимптотою лінії uv, якщо точка М може зміщатися уздовж uv таким чином, що сама вона віддаляється в, а її відстань МК до прямої прагне до 0. ОМ, а ОМ0.

Зауваження: Не всяка лінія, по якій точка М може віддалятися в, володіє асимптотами. Так, у параболи, у синусоїди, в архімедової спіралі асимптоти немає. У гіперболи 2 асимптоти. При побудові графіка функції необхідно знати чи є асимптоти чи ні.

Вертикальні асимптоти

Теорема: Для того, щоб пряма х=з була асимптотою лінії y=f(х) необхідно й досить, щоб функція y=f(х) мала в точці С нескінченний розрив.

Рис.2

Доказ. Припустимо, що пряма Х=С є асимптотою лінії Y=F(Х). Це значить, що точка М(Х,Y) може зміщатися по лінії Uv таким чином, що відстань

|ОМ|, а |МР|0, |МР|=|х-с|, тоді

. (4.1)

Із цього випливає, що

, (4.2)

Тобто функція Y=F(Х) має в точці C нескінченний розрив. Доведено необхідність умов.

Нехай тепер функція Y=F(Х) має в точці С Нескінченний розрив, тобто що

,

Тоді

.

З іншого боку

.

З доведеної теореми випливає Правило:

Щоб відшукати всі вертикальні асимптоти лінії Y=F(Х), знаходимо всі точки Х=С, де функція Y=F(Х) має нескінченний розрив. Кожна із прямих Х=С Буде асимптотою.

Горизонтальна асимптота

. (4.3)

Похила асимптот

Y = Kx + B,

(4.4)

Похожие статьи




Асимптоти. Вертикальні й горизонтальні - Основи вищої математики

Предыдущая | Следующая