Пряма на площині. Площина в просторі - Основи вищої математики

Пряма в просторі

І. Пряма на площині

1. Рівняння прямої, що проходить через дану точку перпендикулярно даному вектору

Нехай на площині ХО задана точка М0(Х0,Y0) і вектор (A,B). Запишемо рівняння прямої, що проходить через М0 перпендикулярно вектору.

Рівнянням прямої буде таке рівняння, якому задовольнять координати кожної точки, що лежить на цій прямій, і не задовольняють координати будь-якої точки, що не лежить на цій прямій. Для складання рівняння візьмемо точку М(Х,Y). Розглянемо вектор (X--X0,Y--Y0). Тоді для прямої необхідна умова

( )=(X--X0)A+(Y--Y0)B=0. (13.1)

Це і є шукане рівняння.

2. Загальне рівняння прямої. Пряма як лінія першого порядку. Окремі випадки рівняння прямої.

З рівняння (13.1) одержимо, розкривши дужки

Ax+By--Ax0--Bx0=0 Ax+Bx+C=0. (13.2)

Число

Рівняння (13.2) і є загальне рівняння прямої на площині.

Зауваження: Лінія, рівняння якої є рівняння першого степеня, називається лінією першого порядку.

Якщо дано рівняння першого степеня, то коефіцієнти при змінних Х и Y -- це А и В, які є коефіцієнтами вектора перпендикулярного цій прямій.

Приклад: 5Х--7Y+8=0, те (5,-7).

Рівняння прямої, що проходить через дану крапку паралельно даному вектору.

Нехай пряма проходить через дану крапку М0(Х0,Y0) паралельно даному вектору (M,N). Тоді

. (13.3)

Це умова паралельності векторів.

Приклад: М0(5,7), =(-2,3) те рівняння прямої буде

3Х+2Y--29=0.

4. Рівняння прямої, що проходить через дві точки

Тоді

. (13.4)

5. Параметричне рівняння прямих.

Нехай дане рівняння. Тоді

(13.5)

Це і є параметричне рівняння прямої, де T -- параметр.

Приклад: М0(5,7), =(-2,3).

6. Рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом.

Нехай пряма задана рівнянням

, n0.

Помножимо на "N", одержимо

N/M(X--X0)=Y--Y0,

N/M -- кутовий коефіцієнт, рівний K,

K=Tg,

Де -- кут нахилу прямої до осі ОХ. Тоді

Y--Y0= k(X--X0). (13.6)

Це і є рівняння прямої, що проходить через дану точку в заданому напрямку. Тоді

Kx--Kx0= y--Y0 Y=Kx+B,

Де B=Y0--X0.

7. Нормоване рівняння прямої.

Нехай на площині дана пряма, не перпендикулярна осям координат.

Позначимо через Р довжину перпендикуляра, -- кут.

Знаючи Р и напишемо рівняння цієї прямої, розглядаючи радіус вектор, тоді проекція на буде

або,

| |=1, але 0=(Cos,Sin). Тоді можна записати

, (X,Y)(Cos,Sin)=P,

Xcos+Ysin=P. (13.7)

Це і є нормоване рівняння прямої. A= cos, B= sin.

8. Відстань від точки до прямої на площині.

Задано пряму L, її рівняння Ах+Вy+С=0 і дана точка М0(Х0,Y0). Необхідно знайти D -- відстань від точки М0 до прямої L. Проведемо через М0 пряму перпендикулярну L й одержимо М1(Х1,Y1)

.

Але Х1 й Y1 -- невідомі. Тоді зробемо так, рівняння прямої NL і минаючої через М0(Х0,Y0) може бути записане у вигляді

В(Х-х0)-А(Y--Y0)=0.

Координати точки М1(Х1,Y1), у якій перетинаються прямі L й N повинні задовольняти рівнянням обох цих прямих, тобто

(*)

До першого рівняння додамо й віднімемо Ах0+Вy0. Тоді

(**) А(Х1-х0)+В(Y1--Y0)= --(Ах0+Вy0+С).

Для відшукання D піднесемо до квадрата другу з рівностей (*) і (**) і складемо почленно, одержимо

(A2+B2)[(X1--X0)2+(Y1--Y0)2]=(Ax0+Bx0+C)2.

D2

Тоді

. (13.8)

Приклад: М0(1,-4). Визначити її відстань до прямої 4х--3y+12=0.

.

9. Рівняння прямої у відрізках (самостійно).

Припустимо, що відомо координати точок перетину прямої з осями координат: А -- з віссю ОХ, B -- з віссю ОY (їх називають відрізками прямої на осях координат). Складемо за цим даними рівняння прямої. Тому що нам відомі М1(А,0), М2(0,B) через які проходить пряма, то можна написати рівняння

. (13.9)

Це рівняння називається Рівнянням у відрізках. Його використовують тоді, коли за параметри, що визначають положення прямої на координатній площині зручно прийняти відрізки, що відтинають пряма на осях координат.

10. Кут між прямими.

Нехай дані дві прямі

A1X+B1Y+C1=0 A2X+B2Y+C2=0

. (13.10)

Наприклад:

Зауваження: 1) Прямі перпендикулярні тоді й тільки тоді, коли Cos=0, тобто А1А2+В1B2=0

=2--1,

. (13.11)

Якщо прямі паралельні, то Tg=0, тобто K2=K1, а перпендикулярні, то 1+

K1K2=0, .

ІІ. Площина в просторі

1. Рівняння площини, що проходить через точку перпендикулярно даному вектору

Нехай площина проходить через точку М0(Х0,Y0,Z0) і перпендикулярна =(A,B,C).

Візьмемо на площині точку М(Х,Y,Z), тоді.

A(X--X0)+B(Y--Y0)+C(Z--Z0)=0. (13.12)

2. Загальне рівняння площини. Площина як поверхня першого порядку. Окремі випадки загального рівняння.

Перетворимо рівняння (13.13). Одержимо

Ax+By+Cz+D=0, (13.13)

Де D= --(Ax0+By0+Cz0)=Const.

Це загальне рівняння площини, бачимо, що воно першого степеня відносно Х, Y, Z.

Справедливо й зворотне твердження: усяке рівняння першого степеня відносно Х, Y, Z є рівнянням площини.

Окремі випадки розглянути самостійно.

    1. А=0 By+Cz+D=0 площина паралельна осі ОХ; В=0 || OY, С=0 || OZ. 2. D =0 -- площина проходить через початок координат. 3. А=В=0 Cz+D=0-- площина паралельна осям ОХ й ОY, тобто паралельна ХОY і перпендикулярна OZ рівняння Z=С.

А=C=0 ОY, В=C=0 ОХ й Y=B, X=A.

4. А=D=0 -- площина проходить через вісь ОХ, тобто вона паралельна ОХ і проходить через початок координат.

Аналогічно В=D=0 через ОY, C=D=0 через ОZ.

5. А=В=D=0 -- площина збігається з ХОY рівняння z=0.

А=C=D=0 ХОY, Y=0; C=В=D=0 YОZ, Х=0.

3. Рівняння площини, що проходить через дану точку паралельно двом даним векторам.

М0(Х0,Y0,Z0), =(AX,AY,AZ), =(BX,BY,BZ), М(Х,Y,Z)

, , -- компланарні, тобто паралельні одній площини. Тоді ( ) =0, тобто

(13.14)

Рівняння площини, що проходить через три точки.

М1(Х1,Y1,Z1), М2(Х2,Y2,Z2), М3(Х3,Y3,Z3)

=[(X2--X1),(Y2--Y1),(Z2--Z1)],

=[(x3--x1),(y3--y1),(z3--z1)],

. (13.15)

Приклад: Написати рівняння площини, що проходить через точки А(-2,3,1), В(-1,0,2), З(1,-2,3).

5. Рівняння площини у відрізках на осях.

. (13.16)

Візьмемо площину не минаючу через початок координат. перпендикулярний площині, -- одиничний вектор, Р=| | -- відстань від початку координат до площини, М(Х,Y,Z) -- довільна точка в просторі, -- радіус вектор, D -- відстань від точки М до площини.

D=DK, , =(X,Y,Z), =(Cos,Cos,Cos).

У координатній формі

,

D=(Xcos+Ycos+Zcos--P). (13.17)

D= -- це відхилення точки від площини.

У випадку D=0 ми маємо рівняння, що справедливо для точок М(Х,Y,Z), що належать цій площині й тільки для неї і навпаки. Тоді

Xcos+Ycos+Zcos=P. (13.18)

Це нормоване рівняння площини.

Xcos+Ycos+Zcos--P=D. (13.19)

Рівняння площини, що відстоїть від даної точки на відстань d.

7. Кут між площинами.

Цим кутом буде один з кутів між векторами, перпендикулярними до цих площин

Нехай дані дві площини:

A1X+B1Y+C1Z+D1=0

A2X+B2Y+C2Z+D2=0

Вектора, перпендикулярні цим площинам:

. (13.20)

    А) якщо площини перпендикулярні, то =0, тобто А1А2+В1B2+C1С2=0; Б) якщо площини паралельні -- координати векторів пропорційні

умова паралельності.

Похожие статьи




Пряма на площині. Площина в просторі - Основи вищої математики

Предыдущая | Следующая