Обернена матриця. Розв'язування системи лінійних рівнянь матричним способом - Основи вищої математики

Визначення. Матриця називається оберненою матриці, якщо їх добуток, тобто рівний одиничній матриці.

Якщо квадратна матриця має зворотню матрицю, то вона єдина, цю матрицю позначають. Умовою існування зворотньої матриці є. Завжди (3.1) (3.2)

Тобто матриці і взаємозворотні. Побудуєм обернену матрицю для довільної квадратної матриці третього порядка:

, .

-- алгебраїчне доповнення у визначнику.

Алгебраїчні доповнення елементів визначника задовольняють наступним тотожностям:

(3.3)

При

Неважко переконатись, що оберненою матрицею по відношенню до матриці служить матриця:

(3.4)

В силу тотожностей (3.3) маємо:

; ,

Що і треба було довести.

Необхідно звернути увагу на порядок індексів у матриці (3.4) -- транспоновані.

Матриця, побудована з алгебраїчних доповнень елементів визначника квадратної матриці, в якій алгебраїчні доповнення строк розташовані по стовпцям і навпаки, називається приєднаною матрицею матриці і позначається :

(3.5)

Тоді (3.6)

Приклад: .

Систему лінійних рівнянь перешого степеня можна записати у вигляді одного матричного рівняння:

позначимо

, ;

Тоді отримаєм матричне рівняння:. (3.7), якщо помножити на, то отримаєм

(3.8)

Звідси:

(3.9)

Похожие статьи




Обернена матриця. Розв'язування системи лінійних рівнянь матричним способом - Основи вищої математики

Предыдущая | Следующая