Рішення систем лінійних однорідних рівнянь, Векторний добуток векторів. Визначення. Властивості, вираження через координати векторів співмножників. Застосування - Основи вищої математики

Визначення: Алгебраїчні лінійні рівняння називаються однорідними, якщо в них вільний член дорівнює нулю.

Розглянемо таку систему, що має вигляд:

(10.1)

Ця система завжди сумісна, тому що її рішенням є набір х1=0, х2=0, ..., хn=0 -- який називають нульовим рішенням.

Розглянемо матрицю А цієї системи

A= . (10.2)

Якщо R(А)=N, то базисних невідомих буде N й у цьому випадку система має одне рішення -- це рішення нульове. Якщо R(А)=L, а L<N, то система має нескінченно число рішень, у цьому випадку L базисних виражаються через N--L вільних невідомих.

Допишемо до цієї системи очевидні рівності

. (10.3)

Таким чином, невідомий вектор є лінійною комбінацією векторів і т. д.

Якщо R(А)=L=N -- то система має одне рішення. Якщо R(А)=L<N -- то нескінченну множину.

Векторний добуток векторів. Визначення. Властивості, вираження через координати векторів співмножників. Застосування

І. Визначення: 3-х векторів. Трійка векторів називається впорядкованою, якщо відомо, який із цих векторів 1, 2, 3 і називається правою, якщо обертання 1-ого вектора до другого по найменшому куту між ними (спостерігаємо з кінця 3-ого ) відбувається проти часової стрілки й лівої, якщо по часовій.

Рис.1

ІІ. Визначення: Векторним добутком вектора на вектор називається новий вектор, що позначається

= (11.1)

І обумовлений наступними трьома умовами:

1. Модуль вектора | | дорівнює площі паралелограма, побудованого на векторах й (після сполучення їх початків), тобто

. (11.2)

    2. Вектор перпендикулярний до площини цього паралелограма (тобто перпендикулярний обом векторам й ). 3. Вектор спрямований у ту сторону від цієї площини, що найкоротший поворот від до навколо (після сполучення всіх початків векторів у точці) здається направленим проти часової стрілки, якщо дивитися з кінця вектора, тобто права трійка векторів.

(11.3)

ІІІ. Властивості векторного добутку

1. Векторний добуток двох векторів дорівнює нулю, якщо один з них або обидва є нуль-векторами або ж це колінеарні вектори, тобто =0 або =

. (11.4)

2. При перестановці місцями векторів-співмножників векторний добуток змінює знак, тобто перетворюється в протилежний вектор (мал.2)

. (11.5)

3. Векторний добуток має розподільну властивість

. (11.6)

4. Щоб помножити векторний добуток двох векторів на довільний множник, досить помножити на нього один з векторів, що перемножують, (будь-який):

. (11.7)

IV. Вираження векторного добутку через координати векторів співмножників.

(11.8)

(11.9)

Тоді

(11.10)

Або

. (11.11)

Приклад: =(-1,2,4), =(1,0,3). ?

.V. Застосування векторного добутку.

За допомогою векторного добутку знаходять площу трикутника:

. (11.12)

Якщо трикутник заданий координатами вершин, то потрібно попередньо знайти вектори двох будь-яких його сторін по заданих координатах, а потім скористатися формулою (11.12).

Приклад: Знайти площу трикутника з вершинами А(2,-1,3), В(1,3,-5), С(0,-2,-3).

Похожие статьи




Рішення систем лінійних однорідних рівнянь, Векторний добуток векторів. Визначення. Властивості, вираження через координати векторів співмножників. Застосування - Основи вищої математики

Предыдущая | Следующая