:Елементи лінійної алгебри і аналітичної геометрії, Матриці. Дії над матрицями - Основи вищої математики

Матриці. Дії над матрицями

Матриця вперше з'явилась в середині ХІХ століття в роботах англійських математиків У. Гамільтона і А. Келі [У. Гамільтон, 1805-1865, ірландський математик, іноземний член Петербурзької Академії Наук, теорія Комплексних Чисел. Побудував систему чисел -- кватерніонів (чотири).; А. Келі, 1821-1895, англійський математик, іноземний член Петербурзької Академії Наук, праці по теорії і алгебрі, квадратичні формули, проекційна геометрія, математичний аналіз і астрономія], на даний момент широко використовуються в прикладній математиці, вони значно спрощують розгляд складних систем рівнянь.

Визначеня. Матрицею називається прямокутна таблиця, складена з чисел чи функцій. Ми будемо розглядати тільки дійсні числові матриці. Така матриця має вигляд:

або або або (5) (1.1)

( ) -- знак матриці. В загальному вигляді матриці можна записати наступним чином:

(1.2)

Отже, елемент матриці має два індекси: перший -- номер строки, другий -- стовпця. Можна записати, таким чином

Кожна матриця має певні розміри, тобто кількість рядків і стовпчиків в (1.1) і (1.2) чим і визначається розмір матриці: (2х3), (3х3), (4х1), (1х1), (M X N). При M=n матриця називаєть-ся квадратною, яка має порядок M або N, оскільки вони рівні.

Визначення. Матриця, у якої всі елементи рівні нулю, називається нульовою. Квадрат-на матриця, у якої всі елементи рівні нулю, крім елементів, що стоять на головній діагоналі (яка проходить від верхнього лівого кута у правий нижній кут), називається діагональною і позначається diоg (a, b,...,k). Діагональна матриця, у якої всі діагональні елементи дорівнюють одиниці називається одиничною:

(1.3)

Матриці А і В будуть рівні, якщо однакові розміри і відповідні елементи, тобто.

Матриці одного й того ж розміру, тобто які складаються з однакової кількості рядків і стовпчиків алгебраїчно складають.

Сумою двох матриць і називається матриця, елементи якої рівні сумі відповідних елементів матриці і, . Символічно це запису-ють (1.4). Виконується закон: (1.5).

Щоб помножити матрицю А на число, потрібно на це число помножити кожний елемент матриці:

(1.6)

Наслідок: якщо всі елементи матриці мають спільний множник, то його можна виносити за знак матриці.

Визначення. Матриця називається транспонованою, якщо зробити її строки стовпчиками з тими ж самими номерами, тобто

або (1.7)

Властивості транспонованих матриць:

(1.8)

Визначення: Добуток матриць. Дві матриці можна перемножити, якщо число стовпчиків першого множника дорівнює числу строк другого:

Приклад:

В загальному випадку, якщо якщо ми множимо матрицю розміру M X N на матрицю розміру N x p, ми отримаємо матрицю розміру M x P, елементи якої будуть обчислюватись по формулі: (1.9)

Завжди можна перемножити 2 квадратні матриці одного порядку, в результаті отримаємо квадратну матрицю того ж порядку, тобто можна помножити квадратну матрицю саму на себе, тобто піднести матрицю у квадрат, чого не можна зробити з прямокутною матрицею.

Іншим важливим частковим випадком є множення строчної матриці на стовпчикову, причому ширина першої повинна бути рівна висоті другої, що дає квадратну матрицю першого порядку, тобто число

Властивіть добутків матриць:

(1.10)

але!

Похожие статьи




:Елементи лінійної алгебри і аналітичної геометрії, Матриці. Дії над матрицями - Основи вищої математики

Предыдущая | Следующая