Мішаний добуток векторів. Визначення. Геометричний зміст. Вираження через коефіцієнт. Застосування - Основи вищої математики

І. Визначення: Мішаним добутком трьох векторів і називається добуток виду, де два перших вектори перемножуються векторно, а їхній добуток множиться скалярно на третій вектор. Це скалярна величина.

Абсолютне значення мішаного добутку некомпланарних векторів і Дорівнює об'єму V паралелепіпеда, побудованого на цих векторах, а знак його залежить від орієнтації векторів (права трійка -- "+", ліва -- "--").

-- площа основи, Sccos -- об'єм.

ІІ. Властивості мішаного добутку 3-х векторів.

    1. Мішаний добуток дорівнює нулю коли:
      А) і -- Компланарні, якщо їх випустити з однієї точки, то вони будуть в одній площині V=0; Б) два з векторів, що Перемножуються, Колінеарні; В) хоча б один з векторів є Нуль-вектор.
    2. Мішаний добуток не змінюється, якщо:
      А) перемножувані вектори переставляти в Круговому порядку

. (12.1)

Б) Поміняти місцями знаки векторного й скалярного множення

. (12.2)

3. Перестановка в мішаному добутку будь-яких двох векторів змінить лише його знак

. (12.3)

ІІІ. Вираження мішаного добутку векторів через їхні координати.

Розкладемо перемножувані вектора по ортах:

.

Тоді

. (12.4)

Або, якщо їх розкласти по елементах першого рядка, одержимо:

.

Таким чином, одержали скалярний добуток вектора на вектор.

IV. Застосування мішаного добутку векторів.

1. Обчислення об'єму чотиригранної піраміди (тетраедра).

Об'єм такої піраміди дорівнює одній шостій об'єму паралелепіпеда, побудованого на його збіжних в одній вершині ребрах. Об'єм цього паралелепіпеда шукається по формулі (12.4) як абсолютна величина мішаного добутку трьох векторів, загальний початок яких перебуває в одній з вершин піраміди, а кінці - в інших 3-х її вершинах.

Якщо вершинами піраміди служать крапки М1, М2, М3, М4, то думаючи, обчислюємо об'єм піраміди по формулі

. (12.5)

Приклад: Вершини М1(1,2,3), М2(0,-1,1), М3(2,5,2), М4(3,0,-2). V=?

Рішення:

2. Умова компланарності трьох векторів.

Три вектори і Компланарні тоді й тільки тоді, коли їхній мішаний добуток дорівнює 0

(12.6)

Або

. (12.7)

Похожие статьи




Мішаний добуток векторів. Визначення. Геометричний зміст. Вираження через коефіцієнт. Застосування - Основи вищої математики

Предыдущая | Следующая