Пряма в просторі - Основи вищої математики

І. Загальне рівняння прямої

Пряму в просторі найчастіше задають як перетинання двох площин

І площина А1Х+В1Y+C1Z+D=0

ІІ площина А2Х+В2Y+C2Z+D=0 (14.1)

Тоді, якщо точка лежить на прямій, то її координати задовольняють обом рівнянням, тобто її координати є рішенням системи (14.1) і навпаки, усяке рішення цієї системи є точка на прямій. Пряма й система (14.1) це те саме, тому система (14.1) називається Загальним рівнянням прямої в просторі.

Якщо система двох ЛАУ дана, то чи завжди вона задає пряму в просторі? Очевидно, ні, тому що площини можуть бути паралельні, тобто

=A, R(А)=1.

Тобто тільки тоді, коли R(А)=2.

ІІ. Канонічне й параметричне рівняння прямої

Нехай пряма проходить через точку М0(Х0,Y0,Z0) і вона паралельна вектору.

Напишемо рівняння цієї прямої, для чого візьмемо на ній точку М(Х,Y,Z) і тоді

. (14.2)

Це і є канонічне рівняння прямої. Для одержання параметричного прирівнюємо (14.2) до величини T й одержимо систему із трьох рівнянь.

(14.3)

Із цієї системи видно, що пряма одномірна і її положення залежить тільки від одного параметра "T", тобто маємо один ступінь свободи.

Приклад: Знайти проекцію точки А(1,0,2) на площину Х+3Y--Z+4=0.

Рішення: Знаючи рівняння площини знаходимо вектор, перпендикулярний їй:

.

Але він паралельний.

.

Знаходимо координати точки В.

При рішенні зручно скористатися параметричним виглядом.

T+1+9t-2+t+4=0 ,

Похожие статьи




Пряма в просторі - Основи вищої математики

Предыдущая | Следующая