Ранг матриці. Еквівалентні перетворення матриці Трапецевидна матриця і її ранг. Обчислення рангу матриці - Основи вищої математики

Визначення: Нехай дана матриця А=(mn), тоді мінором порядку "k" називають визначник, складений з елементів цієї матриці, якщо в неї викреслити (m--k) рядків й (n--k) стовпців, причому km й kn.

Приклад: Щоб у матриці А=(54) одержати мінор K=3, потрібно викреслити 2 рядка й один стовпець, наприклад маємо матрицю А=(23).

А= .

Написати всі мінори 2-го порядку.

М11= , М12= , М13= .

Число "r" називається рангом матриці А=(mn), якщо:

У цій матриці знайдеться мінор порядку "R", відмінний від нуля.

Будь-який мінор порядку (K+1) і більш високого порядку цієї матриці дорівнює 0.

Приклад: Знайти ранг матриці А= .

М11= =0, М12= =0, М13= =0.

Ранг матриці не дорівнює 2, а вектор 1, тому що |1|=10, у такий спосіб R(А)=1.

Визначення: Мінор, порядок якого дорівнює рангу матриці й відмінний від "0", називається базисним мінором.

Приклад: А= , М= -- базисний мінор R(А)=2.

Базисних мінорів у матриці може бути кілька. Рядки й стовпці матриць, на перетині яких перебуває базисний мінор, називаються Базисними рядками й Базисними стовпцями.

Трапецевидна матриця і її ранг

Визначення: Матриця А=(mn) називається трапецевидною, якщо існує таке число l, що: 1) елементи а11, а22, ..., аLl -- не рівні 0 (l<m)(l<n), 2) елементи матриці, що стоять під елементами а11, а22, ..., аLl, aL, l+1, ..., aLn (l<m), усі рівні 0, 3) елементи матриці, що стоять під елементами а11, а22, ..., аL--1,l--1 (l=m), усі рівні 0.

    1.2. (L<M)

Приклад:

А= , А=(45), R(А)=3, А11=1, А22=2, А23=3, L=3.

Ранг трапецевидної матриці дорівнює l. Дійсно, мінор порядку l має вигляд

, R(А)=L

Еквівалентні перетворення матриці. Перехід до трапецевидної матриці того ж рангу.

Визначення: Матриця А називається еквівалентною матриці А, якщо вона отримана з матриці А за допомогою наступних операцій:

1) перестановка 2-х стовпців (або рядків); 2) додавання до елементів деякого рядка елементів іншого рядка, помножених на те саме число.

Справедливе твердження - еквівалентні матриці мають однакові ранги. Для підрахунку рангу матриці від даної матриці переходять до еквівалентної, домагаючись того, щоб через кілька кроків одержати трапецевидну матрицю. При кожному кроці ранг матриці не змінюється. Одержавши трапецевидну матрицю ми легко порахуємо ранг цієї матриці. Тим самим ми знайдемо ранг вихідної матриці. Покажемо як здійснюється перехід до трапецевидної матриці, переходячи до еквівалентної.

Нехай А= . Розглянемо перший рядок матриці.

Якщо всі елементи цього рядка рівні 0, переставляємо її на останнє місце. Інтерес становить випадок, коли в першому рядку є елементи, не рівні 0. Поміняємо стовпці місцями так, щоб елемент першого рядка не рівний 0, виявився на першому місці, у такий спосіб вважаємо А110.

За допомогою множення першого рядка на деяке число й додавання цього добутку до другого рядка, домагаємося, що на місці А21 буде 0.

.

Множачи перший рядок на деяке число, можемо домогтися, щоб на місці А31 стояв 0 і під А11 були одні 0. Таким чином, перший рядок і перший стовпець перетворені. Припускаємо, що в другому рядку є елемент не рівний 0, перемістимо його на А22, а під ним утворимо нулі й т. д.

Приклад: Обчислити ранг матриці

А=

R(А )=3, R(А)=(А )=3.

Похожие статьи




Ранг матриці. Еквівалентні перетворення матриці Трапецевидна матриця і її ранг. Обчислення рангу матриці - Основи вищої математики

Предыдущая | Следующая