Метод Гауса - Основи вищої математики

(Карл Фрідріх Гаус (1777-1855) іноземний член Петербурзької АН (1824), німецький математик. Праці: вища алгебра, диференціальна геометрія, математична фізика, геодезія, астрономія, особливий внесок у теорію електрики й магнетизму).

Цей метод рішення системи рівнянь шляхом виключення невідомого.

Нехай дана система:

(9.1)

Розглянемо будь-яке рівняння системи, наприклад 1-ше, якщо всі коефіцієнти рівні 0, то рівняння переставляється на останнє місце, але якщо всі коефіцієнти при невідомих дорівнюють нулю, а вільний член не дорівнює 0, тобто

0X1+...+0XN=B10,

То рівняння рішень не має й система рішень не має й на цьому рішення припиняється.

Тому становить інтерес випадок, коли в 1-му рівнянні хоча б один коефіцієнт не був рівний нулю, нехай А110, тоді використовуючи 1-ше рівняння, ми можемо домогтися того, що в інших рівняння буде відсутній Х1, після цього переписуємо 1-ше рівняння й інші, у яких немає Х1 і переходимо до другого, виключаємо Х2 з 3-го й 4-го рівнянь і т. д.

Таким чином, застосовуючи метод Гауса, провівши кінцеве число кроків й у випадку якщо система сумісна, одержимо систему виду:

(9.2)

Якщо L=N, то R(А)=N.

Тоді останнє рівняння буде мати вигляд

. (9.3)

У передостаннім рівнянні буде 2 невідомих ХN--1 і ХN. Підставляючи з останнього ХN знайдемо ХN--1, і т. д. дійшовши до 1-го рівняння, знайдемо Х1. Система буде вирішена й одержимо один набір значень. Якщо L<N, тоді з останнього знаходимо ХL, воно виражається через ХL=F(ХL+1, ..., ХN), підставляючи в передостаннє, знайдемо ХL--1 через ті ж самі невідомі й так дійшовши до Х1 -- також виражені через ці невідомі. Тоді одержимо Х1, Х2, ..., ХL -- Базисні невідомі, а ХL+1, ..., ХN -- Вільні невідомі.

Ми виразили базисні через вільні.

У цьому випадку вільним невідомим ми можемо самі надавати довільні значення, а для базисних знаходити значення з виразу через вільні.

Тому що число вільних не дорівнює нулю (L<N), то й рішень буде нескінченна множина.

Якщо R(А)=R(А *), у цьому випадку може трапитися, що R(А)=N, тоді користуючись методом Гауса, ми одержимо L=N. У цьому випадку всі невідомі будуть базисними й система має одне рішення.

Якщо ж R(А)=R(А *), але R(А)<N, то в цьому випадку L<N -- базисних невідомих число вільних невідомих буде N--L0 і система має нескінченну кількість рішень.

Таким чином, метод Гауса складається в приведенні розширеної матриці системи (А *) до трапецевидного виду. При цьому не допускається перестановка стовпця з вільних членів з іншими стовпцями.

Приклад: Користуючись методом Гауса вирішити систему.

1.

Дана система не має рішень.

2.

X3=-2, X1=1--X2,

.

Метод Гауса дає можливість перейти від даної системи (9.1) до системи з "R" рівнянь (у випадку якщо система сумісна) і виразити базисні невідомі через вільні.

Метод Гауса опирається на наступні елементарні перетворення системи:

    1) Перестановка рівнянь системи. 2) Зміна нумерації невідомих у системі. 3) Додавання до рівняння системи інших її рівнянь, коефіцієнти яких помножені на те саме число.

У результаті чого одержуємо систему, рівносильну вихідній.

Похожие статьи




Метод Гауса - Основи вищої математики

Предыдущая | Следующая