Визначники та їх властивості - Основи вищої математики

До поняття визначника приходимо, розглядаючи системи алгебраїчних рівнянь першого степеня. Розглянемо систему рівнянь:

(2.1)

X та y -- невідомі, роз'язуючи її отримаємо систему:

(2.2)

Вираз -- називається визначником (детермінантом) другого порядка і записується так:

(2.3)

Де -- знак визначника.

Таким чином в кожній квадратичній матриці можна поставити у відповідність число, яке називається визначником матриці

(2.4)

Визначник другого порядка:

(2.5)

Допоміжна головна діагональ

Діагональ

Визначником третього порядка називається число, утворене так:

(2.6)

- - - + + +

Перетворення виразу (2.6) і застосування (2.3) приводить до формули:

(2.7)

По аналогії з формулою (2.7) визначається визначник четвертого порядка:

Аналогічно визначник п'ятого порядка і т. д.:

Властивості визначників

Будемо розглядати властивості визначників на основі визначників 3-го порядка, вони будуть справедливі для визначників будь-якого порядка.

1). Визначник не зміниться, якщо його транспонуювати.

(2.8) Довести її самостійно.

2). Якщо переставить місцями два паралельних ряда (строки чи стовпця), то визначник змінить знак:

і т. д. (2.9)

3). Якщо визначник має два однакових ряда -- то він дорівнює нулю.

(2.10)

    4). Визначник, що має нульовий ряд дорівнює нулю. 5). Спільний множник, що є у всіх елементах одного ряда, можна винести за знак визначника.

(2.11)

Наслідок: для множення визначника на число достатньо помножити на це число елементи одного рядка (строки чи стовпця).

6). Якщо всі елементи якого-небуть рядка представити у вигляді суми двох доданків, то увесь визначник можна представить у вигляді суми двох визначників по формулі:

(2.12)

7). Визначник дорівнює нулю, якщо елементи двох рядків пропорційні:

якщо (2.13)

8). Якщо до кожного з елементів якого-небуть ряда додати числа, пропорційні другому ряду, паралельного першому, то значення визначника не зміниться.

(2.14)

Мінор і алгебраїчне доповнення визначника

Мінором називається визначник, складений з елементів даного визначника, якщо в ньому викреслити строку і стовпчик на перехресті якої стоїть елемент :

і т. д. (2.15)

Алгебраїчним доповненням елемента називається мінор цього елемента, помножений на множник.

(2.16) і т. д.

Теорема: сума добутків елементів ряда визначника на відповідні їм алгебраїчні доповнення дорівнює визначнику

Приклади.

Всі ці властивості застосовуються при обчисленні визначників.

Обчислити Обчислити.

Для цього за допомогою застосування властивості 8 зробити в якому-небуть з рядів всі елементи, крім одного, рівними нулю: тоді розкладаючи отриманий визначник по елементам цього ряда отримаєм лише один доданок. Так, якщо ми хочем у третій строкі визначника залишити відмінний від нуля елемент лише на другому місці, то потрібно другий стовпчик помножити на (-2) і додати до першого, а потім в отриманому визначнику другий стовпчик додати до третього.

Отримаєм:

(віднімемо другу строку

З першої )

Похожие статьи




Визначники та їх властивості - Основи вищої математики

Предыдущая | Следующая