Інтегральне числення функції кількох змінних. - Вища математика

Розглянемо функцію двох змінних, областю визначення якої є деяка квадровна область. Зауважимо, що коли межа області складається із численного числа неперервних кривих, визначених рівняннями виду або, де - неперервні функції своїх аргументів, то така область КВАДРАТОВНА.

Діаметром замкненої області називають найбільшу відстань між двома точками і позначають. Наприклад, діаметром плоского паралелограма є довжина його найбільшої діагоналі.

1. Задача про об'єм циліндричного тіла

Геометричне тіло, обмежене зверху поверхнею, з боків - циліндричною поверхнею, твірні якої паралельні осі, а знизу - замкненою, обмеженою квадровною областю, яка лежить у площині називають Циліндричним.

Контур квадровної області є напрямною лінією циліндричної поверхні.

Обчислюємо його об'єм.

Розіб'ємо кривими область на довільних частин, , попарно, без спільних внутрішніх точок: . На кожній області, як на основі, побудуємо циліндричний стовпчик з твірними, паралельними осі. У кожній з області виберемо довільну точку.

Тоді, де - площа області є наближеним значенням об'ємів кожного циліндричного стовпчика. Сума дає наближене значення об'єму заданого циліндричного тіла. Точне значення об'єму циліндричного тіла дістанемо, коли в останній сумі перейдемо до границі при умові, що, тобто (1) Таким чином, задача про обчислення об'єму циліндричного тіла, зводиться до знаходження границі виду (1).

2. Задача про масу матеріальної пластинки

Нехай плоска неоднорідна матеріальна пластинка, має форму замкненої області. Площа цієї області. (рис. 2.). Припустимо, що густина в кожній точці пластинки і визначається функцією.

Якщо густина, то пластинка однорідна і маса. Знайдемо масу неоднорідної пластинки, тобто коли.

Розіб'ємо область кривими довільно на частин. Площі кожних частин позначимо.

В кожній частинці вибираємо довільним чином точку.

Припустимо, що густина в даній області стала і дорівнює.

Тоді величина є наближеним значенням маси, а сума наближено визначає масу всієї пластинки.

Точне значення маси заданої пластинки (2)

Таким чином, задача обчислення маси матеріальної неоднорідної пластинки звелась до обчислення границі виду (2).

Похожие статьи




Інтегральне числення функції кількох змінних. - Вища математика

Предыдущая | Следующая