МАТРИЦЫ И ОПРЕДЕЛИТЕЛИ, МАТРИЦЫ И ОПЕРАЦИИ НАД НИМИ, СИСТЕМА ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ. - Скалярные и векторные величины, матрицы и функции
МАТРИЦЫ И ОПЕРАЦИИ НАД НИМИ
Матрицей A называется любая прямоугольная таблица, составленная из чисел, которые называют элементами матрицы и обозначается
Если в выражении (1) , то
Говорят о квадратной матрице, а если, то о прямоугольной.
Суммой двух матриц и называется матрица C, у которой, и записывают.
Произведением матрицы на число называется такая
Матрица C = (cIj), у которой (cIj) = (kaIj).
Если матрица A не нулевая, т. е. существует хотя бы один элемент матрицы A, отличный от нуля, тогда всегда можно указать натуральное число такое, что 1) у матрицы A имеется минор го порядка ; 2) всякий минор матрицы A порядка и выше равен нулю, тогда число, обладающее указанными свойствами называется рангом матрицы A и обозначается. Из определения вытекает, что 1) ранг любой прямоугольной матрицы не должен быть больше, чем минимальный размер матрицы. Если матрица квадратная, то ранг не может быть больше, чем размер матрицы. Математически это можно выразить так 2) если все элементы матрицы A равны нулю, т. е. ,то ранг этой матрицы тоже будет равен нулю.
ОПРЕДЕЛИТЕЛИ ИХ СВОЙСТВА
Определителем n-го порядка называется число .
Количество строк (или столбцов)
СИСТЕМА ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ.
Решением Системы называется совокупность из n чисел (с1, с2, ..., сN), которые, будучи подставленными в систему на место неизвестных x1, x2, ..., xN, обращают все уравнения системы в истинные равенства
Систему уравнений, имеющую хотя бы одно решение, называют Совместной, систему, не имеющую решений, - Несовместной.
Решения и считают Различными, если хотя бы одно из чисел не совпадает с соответствующим числом
Если совместная система имеет единственное решение, то она называется Определнной; если совместная система имеет по крайней мере два различных решения, то она называется Неопределенной.
Формулы Крамера.
Метод Гаусса.
Пусть А - невырожденная матрица, то есть Det A? 0, И, следовательно, она имеет обратную матрицу А-1. Умножив обе части на А-1 слева, получаем:
А-1 (А Х) = А-1 В ???(А-1 А)Х = А-1 В ??Е Х = А-1 В,
То есть Х = А-1 В и есть искомое решение системы (14). Действительно, подставив (16) в (14), получим А (А-1 В) = (А-1 А)В = Е В = В.
Похожие статьи
-
Ранг матрицы. - Методы решения системы линейных уравнений
Как было сказано Выше , минором матрицы порядка s называется определитель матрицы, образованной из элементов исходной матрицы, находящихся на пересечении...
-
Матрицы и определители - Методы решения системы линейных уравнений
Определение. Матрицей размера mn, где m - число строк, n - число столбцов, называется таблица чисел, расположенных в определенном порядке. Эти числа...
-
ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ СКАЛЯРНЫХ И ВЕКТОРНЫХ ВЕЛИЧИН Величины называют Скалярными (скалярами), Если они после выбора единиц измерения полностью...
-
Определители (детерминанты) - Методы решения системы линейных уравнений
Определение. Определителем квадратной матрицы А= называется число, которое может быть вычислено по элементам матрицы по формуле: Det A = , где (1) М1к -...
-
Матрицей называется прямоугольная таблица чисел, содержащая m строк одинаковой длины. Матрицы равны между собой, если равны все их соответствующие...
-
Свойства операции умножения матриц - Методы решения системы линейных уравнений
1)Умножение матриц не коммутативно, т. е. АВ ВА даже если определены оба произведения. Однако, если для каких - либо матриц соотношение АВ=ВА...
-
СКАЛЯРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ Скалярным произведением двух векторов иназывается число S =|| || сos (). Эта операция обозначается. В частности,...
-
Системы линейных уравнений - Методы решения системы линейных уравнений
Системой m линейных уравнений с n неизвестными называется система вида Где aIj и bI (i=1,...,m; b=1,...,n) - некоторые известные числа, а x1,...,xN -...
-
ПОНЯТИЕ ФУНКЦИИ Если некоторому множеству значений поставлено по определенному правилу F во взаимнооднозначное соответствие некоторое множество, то тогда...
-
Определение . Алгебраическим дополнением минора матрицы называется его Дополнительный минор , умноженный на (-1) в степени, равной сумме номеров строк и...
-
ПРАВАЯ И ЛЕВАЯ ТРОЙКИ ВЕКТОРОВ Линейно независимые векторы, и образуют Правую Тройку векторов, если они имеют такую же ориентацию, как соответственно...
-
ВОЗРАСТАНИЕ (УБЫВАНИЕ) ФУНКЦИЙ Функция называется Возрастающей на некотором Промежутке , если на этом промежутке большему значению независимой переменной...
-
Функции и ее свойства - Методы решения системы линейных уравнений
В современной математике понятие множества является одним из основных. Универсальность этого понятия в том, что под него можно подвести любую...
-
ПРОИЗВОДНАЯ, ЕЕ СВОЙСТВА И ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СМЫСЛ. ДИФФЕРЕНЦИАЛ. ПРОИЗВОДНАЯ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ Если отношение имеет предел при этот предел называют...
-
Элементарные преобразования, Миноры - Методы решения системы линейных уравнений
Определение. Элементарными преобразованиями матрицы назовем следующие преобразования: 1) умножение строки на число, отличное от нуля; 2) прибавление к...
-
Линейные уравнения и системы линейных уравнений над кольцом целостности - Евклидовость в математике
Математическое предположение, которое может быть только истинным, или ложным, "существует столбец значений неизвестных такой, что соответствующие этому...
-
ПРАВИЛО ЛОПИТАЛЯ - Скалярные и векторные величины, матрицы и функции
Теорема Коши. Если при соблюдении предположений относительно функций и отношение стремится к некоторому числу при, то тогда к такому же числу будет...
-
УРАВНЕНИЕ ПЛОСКОСТИ Любая Поверхность есть геометрическое место точек, ее составляющих, определенное уравнением Иными словами, все точки, которые...
-
Элементы матричного анализа - Методы решения системы линейных уравнений
Вектором, как на плоскости, так и в пространстве, называется направленный Отрезок , то есть такой Отрезок , один из концов которого выделен и называется...
-
УРАВНЕНИЕ ПРЯМОЙ НА ПЛОСКОСТИ На плоскости, заметим, могут быть заданы только двухмерные, или плоские преобразования. Уравнение, связывающее две...
-
Решение систем линейных уравнений
Постановка задачи Решить Систему линейных уравнений при помощи метода Гаусса и через метод Крамера (вариант 82- 2) Теоретическая часть Матрица -- Таблица...
-
Счетные и несчетные множества - Методы решения системы линейных уравнений
Пусть, например, А и В Ї некоторые множества. Тогда их возможные взаимоотношения можно рассмотреть в виде таблицы: Диаграмма Венна Диаграмма Венна...
-
Уравнение линии на плоскости - Методы решения системы линейных уравнений
Как известно, любая точка на плоскости определяется двумя координатами в какой - либо системе координат. Системы координат могут быть различными в...
-
В литературе подобные системы часто называют системами одновременных уравнений, имея в виду, что здесь зависимая переменная одного уравнения может...
-
Ответ: уравнение ax2+bx+c=0. Где а не равно нулю, называется квадратным. Чтобы его решить нужно вычислить дискриминант. D=b2 -4ac и сравнить его с нулем....
-
Частные производные высших порядков - Методы решения системы линейных уравнений
Пусть z=f(x, y). Тогда и - частные производные по переменным х и у. В некоторых случаях существуют снова от этих функций частные производные, называемые...
-
Пусть u = f(x, y) - функция, определенная в области w. Рассмотрим точку М(х, у) О w и некоторое направление l, определяемое направляющими косинусами Cosa...
-
Выполнил: Шварц В. И. 9-Б класс Руководитель: Шагалина Д. Г. Межгорье 2005 Решение уравнений и неравенств, содержащих выражения под Знаком модуля Любое...
-
Например, если изучается модель спроса как соотношение цен и количества потребляемых товаров, то одновременно для прогнозирования спроса необходима...
-
Наша группа работала над учебным межпредметным проектом "Математические модели в рыночной экономике". Мы покажем применение в экономике систем уравнений....
-
Проблема идентифицируемости - Системы эконометрических уравнений, их применение в эконометрике
Идентификация - это единственность соответствия между приведенной и структурной формами модели. При переходе от приведенной формы модели к структурной...
-
Уравнение графический спрос равновесие С позиций воспитательного аспекта целью данного проекта является помощь учащимся в понимании жизненной...
-
Ответ: Функция y=arctgx, ее график, свойства Ответ: Функция y=arcctgx, ее график, свойства Ответ: Решение уравнений sinx=a, частные случаи Ответ:...
-
Система независимых уравнений Объектом статистического изучения в социальных науках являются сложные системы. Измерение тесноты связей между переменными,...
-
Любое частное решения уравнения (1) на координатной плоскости х0у изображено в виде графика функции у=у (х, с) (с=const). В теории дифференциальных...
-
Системы эконометрических уравнений - Основы эконометрики
При использовании отдельных уравнений регрессии, например для экономических расчетов, в большинстве случаев предполагается, что аргументы (факторы) можно...
-
Теорема 1. Предел постоянной равен самой постоянной. . Доказательство. f(x)=с, докажем, что . Возьмем произвольное e>0. В качестве d можно взять любое...
-
По теме "Вариант №2" Определить совместность системы линейных уравнений: Решение: А = RgA = 2. A* = RgA* = 3. Ответ. Система не совместима. 2. Вычислить...
-
Диагональная матрица, все диагональные элементы которой равны единице (), называется единичной матрицей и обозначается символом E. Элементы единичной...
-
Матрицы над евклидовым кольцом - Евклидовость в математике
Введем следующее определение: строку над евклидовым кольцом Е будем называть канонической, если, кроме главного элемента, все остальные ее элементы...
МАТРИЦЫ И ОПРЕДЕЛИТЕЛИ, МАТРИЦЫ И ОПЕРАЦИИ НАД НИМИ, СИСТЕМА ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ. - Скалярные и векторные величины, матрицы и функции