Обчислення потрійних інтегралів в декартових і циліфндричних кординатах - Вища математика

1. Поняття потрійного інтеграла

Розглянемо в просторі деяку замкнену область. Нехай в області і на її границі визначена деяка неперервна функія, де - прямокутні координати. Розіб'ємо просторову область довільним чином на частин:

Об'єми цих частин позначимо через.

В кожній області виберемо довільну точку і позначимо через значення заданої неперервної функції в точці.

Складемо інтегральну суму

Оскільки функція є неперервною в області, а сама область є замкненою і обмеженої, то існує скінченна границя останньої інтегральної суми незалежно від способу розбиття області на частини і від способу вибору точок при умові. Що максимальний діаметр області прямує до 0 і називається ця границя потрійним ітегралом від функції по області, тобто;

Елементарний об'єм, тому

2. Властивості потрійних ітегралів

Якщо, - стала величина, то,

Де - об'єм області. Зокрема при дістаємо:

- це геометричне тлумачення потрійного інтеграла.

Але якщо функція, то потрійний інтеграл не має геометричного тлумачення оскільки не має геометричного чотиривимірної системи координат.

Якщо, то

Оскільки, то

(Теорема про середнє значення)

Якщо функія є непервною в кожній точці області, то існує така точка, що

Де - об'єм області

3. Обчислення потрійного інтеграла

Нехай просторова область задовільняють таким умовам:

1. Будь-яка пряма, паралельна до осі проведемо через довільну точку області паралельна поверхні, яка обмежує тіло в двох точках 2. Вся область проектується на площину в правильну двовимірну область

Тоді область із правильною тривимірною областю.

Для таких областей обчислення потрійного інтеграла зводиться до обчислення одною однократною і одною подвійною, або трьох однократних.