Оценки интегралов. Формулы среднего значения, Основные правила интегрирования - Определенные интегралы

1. Пусть интегрируемая на сегменте функция неотрицательна на этом сегменте. Тогда:

.

2. Если функция интегрируемая на сегменте и, то:

.

3. Если функция непрерывна, неотрицательна и не равна тождественно нулю на сегменте, то:

.

Если функции и интегрируемы на сегменте и всюду на этом сегменте, то:

.

4. Если функция, интегрируемая на сегменте, то и функция также интегрируема на этом сегменте, причем:

.

5. Пусть функции и интегрируемы на сегменте и. Тогда, если и - точные грани на сегменте, то:

.

6. Пусть функция интегрируема на сегменте, и пусть и - точные грани на сегменте. Тогда найдется такое число, удовлетворяющее неравенствам, что.

Основные правила интегрирования

Теорема: Любая непрерывная на интервале функция имеет на этом интервале первообразную. Одной из первообразных является функция:

,

Где - любая фиксированная точка интервала.

Так как две первообразные данной функции отличаются на постоянную, то согласно теореме, любая первообразная непрерывной на сегменте функции имеет вид:

Где - некоторая постоянная.

Полагая в последней формуле сначала, затем, и используя первое свойства определенного интеграла, получим:

, .

Из этих равенств вытекает соотношение:

,

Которое называется основной формулой интегрального исчисления или формулой Ньютона - Лейбница.

Пусть выполнены следующие условия:

    1) Функция непрерывна на отрезке ; 2) отрезок является множеством значений некоторой функции, определенной на отрезке и имеющей на этом отрезке непрерывную производную; 3) , .

При этих условиях справедлива формула:

Указанная формула называется формулой замены переменной в определенном интеграле.

Пусть функции и имеют непрерывные производные на сегменте. Тогда имеет место следующая формула интегрирования по частям для определенных интегралов:

.

Так как и, то эту формулу можно записать следующим образом:

.

Похожие статьи




Оценки интегралов. Формулы среднего значения, Основные правила интегрирования - Определенные интегралы

Предыдущая | Следующая