Объемы тел вращения - Определенные интегралы
Пусть - некоторое конечное тело. Рассмотрим всевозможные многогранники, вписанные в тело, и всевозможные многогранники, описанные вокруг тела.
Пусть - числовое множество объемов вписанных в тело, а - числовое множество объемов описанных вокруг многогранников. Множество ограничено сверху (объемом любого описанного многогранника), а множество ограничено снизу (например, числом нуль).
Обозначим через точную верхнюю грань множества, а через точную нижнюю грань множества.
Числа и называются соответственно нижним объемом и верхним объемом тела.
Замечание: Нижний объем тела не больше верхнего объема этого тела, т. е. .
Определение: Тело называется кубируемым, если верхний объем этот тела совпадает с нижним объемом. При этом число называется объемом тела.
Теорема: Для того чтобы тело было кубируемым, необходимо и достаточно, чтобы для любого положительного числа можно было указать такой описанный вокруг тела многогранник и такой вписанные в тело многогранник, разность объемов которых была бы меньше.
Теорема: Пусть функция непрерывна на сегменте. Тогда тело, образованное вращением вокруг оси криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции, ординатами в точках и, и отрезком оси между точками и, кубируемо и его объем может быть найден по формуле:
.
Похожие статьи
-
Приложения определенного интеграла. Площадь плоской фигуры - Определенные интегралы
Определение: Плоская фигура - часть плоскости, ограниченная простой замкнутой кривой, при этом кривая называется границей фигуры. Определение: Мы будем...
-
ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ, Интегральные суммы - Определенные интегралы
Интегральные суммы Пусть функция задана на сегменте, . Обозначим символом разбиение сегмента при помощи некоторых несовпадающих друг с другом точек на...
-
Пусть в пространстве дано тело, ограниченное некоторой замкнутой поверхностью и пусть известна площадь любого его сечения, полученного плоскость,...
-
Теорема: Для того, чтобы ограниченная на сегменте функция была интегрируемой на этом сегменте, необходимо и достаточно, чтобы для любого нашлось такое...
-
Теорема: Непрерывная на сегменте функция интегрируема на этом сегменте. Теорема: Если функция определена и ограничена на сегменте, и если для любого...
-
Q(x) - соответствует площади боковой поверхности данного тела от точки А до точки х. Q(x)>х€[a, x]. Q (x+?x)>х€[a, x+?x], тогда ?Q=Q...
-
Площадь поверхности вращения - Определенный интеграл
Пусть кривая АВ Является графиком функции У = f(х) ? 0, где Х [а;b], А функция У = F(х) И ее производная У' = f'(х) Непрерывны на этом отрезке....
-
Определение определенного интеграла - Определенный интеграл
Пусть в интеграле нижний предел а = const, а верхний предел b изменяется. Очевидно, что если изменяется верхний предел, то изменяется и значение...
-
Несобственные интегралы, Интегрирование неограниченных функций - Определенные интегралы
При рассмотрении задачи интегрирования непрерывных и кусочно-непрерывных функций предполагалось, что эти подынтегральные функции являются ограниченными...
-
Заключение - Определенный интеграл
Интеграл лагранж функция коши Наука прошла большой и сложный путь развития от самого элементарного к более сложному. Человечество прошло и проходит...
-
Интегрирование по бесконечному промежутку - Определенные интегралы
Определение: Пусть функция интегрируема на каждом отрезке, т. е. существует определенный интеграл. Тогда за несобственный интеграл принимают предел. Если...
-
Площадь криволинейной трапеции - Определенный интеграл
Определение . Фигура, ограниченная графиком непрерывной, знакопостоянной функции f(x), осью абсцисс и прямыми X=a, x=b, Называется криволинейной...
-
1. Пусть интегрируемая на сегменте функция неотрицательна на этом сегменте. Тогда: . 2. Если функция интегрируемая на сегменте и, то: . 3. Если функция...
-
Длина дуги кривой - Определенный интеграл
Прямоугольные координаты Пусть в прямоугольных координатах дана плоская кривая AB, уравнение которой y = f(x), где a ? x ? b. (рис 1). Под длиной...
-
Введение - Определенный интеграл
Мною была выбрана курсовая работа по теме "Определенный интеграл. Приложения определенного интеграла", в связи с этим, я решила узнать, откуда появился...
-
Приближенное вычисление определенных интегралов, Формула прямоугольников - Определенные интегралы
Задача вычисления определенного интеграла не всегда может быть сведена к первообразной, поэтому разработаны численные методы, которые позволяют найти...
-
Геометрический смысл определенного интеграла - Неопределенный интеграл
О: Площадь криволинейной трапеции равна определенному интегралу, вычисленному от функции, график которой является верхним основанием, а ось абсцисс -...
-
Литература: - Определенный интеграл
Интеграл лагранж функция коши 1. Виленкин М. Я., О. С. Ивашев - Мусатов, С. И. Шварцбурд, "Алгебра и математический анализ", Москва,1993г. 2. Власов В....
-
Пусть R= R (sinx, cosx) является рациональной функцией. Т: Интеграл ?R (sinx, cosx) dx при помощи подстановки t=tg (x/2) [1] преобразуется в интеграл...
-
Любое частное решения уравнения (1) на координатной плоскости х0у изображено в виде графика функции у=у (х, с) (с=const). В теории дифференциальных...
-
Пусть функция непрерывна в ограниченной замкнутой области S и требуется вычислить m-кратный интеграл . (1) Геометрически число I представляет собой...
-
Принцип сходимости, Предел функции. Теорема Гейне - Свойства функций
Рассмотрим вопрос о существовании пределов последовательностей концевых точек бесконечной системы промежутков, вложенных друг в друга. Лемма Кантора ....
-
Несобственный интеграл. - Неопределенный интеграл
Несобственные интегралы I рода. О: Несобственным интегралом I рода от функции f(x), определенным на множестве [а,?], называется предел, к которому...
-
Неопределенный интеграл, Свойства неопределенных интегралов - Неопределенный интеграл
О: Первообразной от функции y=f(x) называется функция F(x), такая что F' (x)=f(x) Т: Всякая непрерывная функция y=f(x) имеет бесконечное множество...
-
Решетки (структуры) - Формационные основы универсальных алгебр
Понятие решетки (пример 11) играет исключительно важную роль в изучении самых общих алгебр. И это, в первую очередь, связано с иным подходом в...
-
Влияние отклонений от оптимального объема партии - Модели оптимального плана управления запасами
В реальных производственных и управленческих ситуациях часто приходится принимать решения об использовании объемов партии, отличных от оптимальной...
-
Эконометрическое моделирование и прогнозирование объемов таможенных платежей в регионе деятельности Ростовской таможни В настоящее время для...
-
Плоскости носитель траекторий перемещения точек параллельны плоскости проекций. Траектория - дуга окружности, центр которой находится на оси...
-
Пусть подынтегральная функция неотрицательна и ограничена: , а двумерная случайная величина распределена равномерно в прямоугольнике D с основанием и...
-
Месяцы года I II III IV V VI VII VIII IX X XI XII Объем продукции, млрд р. 5,0 4,2 5,4 4,8 5,9 5,0 4,8 5,2 5,3 5,0 6,0 6,2 Построить график. На основе...
-
Дифференциальные уравнения - Неопределенный интеграл
Неопределенный интеграл дифференциальный дробь Однородные дифференциальные уравнения I порядка О: Дифференциальным уравнением I порядка называется...
-
Скорость падения дождевых капель на определенный предмет
Введение Математика, как наука родилась тысячи лет назад, ибо человек всегда старался познать мир. Эти знания были необходимы древним купцам и...
-
Найти при помощи метода ячеек значение интеграла , Где - область, ограниченная функциями . 2. Теоретическая часть Рассмотрим K-мерный интеграл вида: (1)...
-
Тема: Статистическое изучение объема, состава и динамики доходов и расходов государственного бюджета Имеются следующие выборочные данные (выборка 25%-ная...
-
Теоремы Ферма, Ролля, Лагранжа и Коши
Введение В данном реферате рассматриваются теоремы Ферма, Ролля, Лагранжа и Коши. "Теорема - высказывание, нравственность которого установлена при помощи...
-
Построение, расчет и анализ среднего арифметического взвешенного индекса физического объема товарооборота Исходная информация для расчета среднего...
-
ВРАЩЕНИЕ И ИНТЕРПРЕТАЦИЯ ФАКТОРОВ - Многомерный статистический анализ
Вращение факторов. Матрицу факторных нагрузок называют также матрицей факторного отображения. Она содержит коэффициенты, используемые для выражения...
-
Зависимость объема выпуска продукции от объема капиталовложений
По предприятиям легкой промышленности региона получена информация, характеризующая зависимость объема выпуска продукции (Y, млн. руб.) от объема...
-
Поляриметр. Удельное вращение - Оптические изомеры и их влияние на организм человека
Различить оптические изомеры можно с помощью поляриметра - прибора, измеряющего угол поворота плоскости поляризации. Величину оптической активности...
-
Индекс физического объема товарной массы - Статистические индексы в анализе движения цен
Другим важным видом общих индексов, которые широко применяются в статистике, являются агрегатные индексы физического объема товарной массы. При...
Объемы тел вращения - Определенные интегралы