Объемы тел вращения - Определенные интегралы

Пусть - некоторое конечное тело. Рассмотрим всевозможные многогранники, вписанные в тело, и всевозможные многогранники, описанные вокруг тела.

Пусть - числовое множество объемов вписанных в тело, а - числовое множество объемов описанных вокруг многогранников. Множество ограничено сверху (объемом любого описанного многогранника), а множество ограничено снизу (например, числом нуль).

Обозначим через точную верхнюю грань множества, а через точную нижнюю грань множества.

Числа и называются соответственно нижним объемом и верхним объемом тела.

Замечание: Нижний объем тела не больше верхнего объема этого тела, т. е. .

Определение: Тело называется кубируемым, если верхний объем этот тела совпадает с нижним объемом. При этом число называется объемом тела.

Теорема: Для того чтобы тело было кубируемым, необходимо и достаточно, чтобы для любого положительного числа можно было указать такой описанный вокруг тела многогранник и такой вписанные в тело многогранник, разность объемов которых была бы меньше.

Теорема: Пусть функция непрерывна на сегменте. Тогда тело, образованное вращением вокруг оси криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции, ординатами в точках и, и отрезком оси между точками и, кубируемо и его объем может быть найден по формуле:

.

Похожие статьи




Объемы тел вращения - Определенные интегралы

Предыдущая | Следующая