ФУНКЦИИ, Основные понятия - Свойства функций
Основные понятия
При изучении различного рода явлений приходится иметь дело с совокупностью переменных величин, которые связаны между собой таким образом, что значения одних величин, (независимых переменных), полностью определяют значения других (зависимых переменных). В этом случае говорят о функциональной зависимости между переменными. Функция или функциональная зависимость - одно из основных математических понятий, при помощи которого моделируются взаимосвязи между различными величинами. Понятие функции, как и понятие множества, относится к числу начальных математических категорий, однако функции можно дать достаточно точное определение.
Пусть _ некоторое числовое множество и пусть задан закон (правило) , по которому каждому числу ставится в соответствие единственное число , обозначаемое . Тогда говорят, что на множестве задана функция и записывают: или Чаще используют более простую терминологию: задана функция, .
Множество называют Областью определения функции. Множество называют Множеством значений функции. При этом называют Независимой переменной или аргументом функции, - Зависимой переменной или значением функции, а - Характеристикой функции. Для обозначения функциональной зависимости можно употреблять любую другую букву (, , , и т. д.). Частное значение функции при записывается как.
Существуют аналитический, графический, табличный и др. способы задания функции.
При Аналитическом способе зависимость между переменными определяется формулами. Если при этом множество не указано, то считают, что функция задана в естественной области определения, т. е. на таком множестве, где эти формулы имеют смысл.
При Графическом способе задания функции зависимость между переменными отражается с помощью графика. Графиком функции на плоскости называется геометрическое место точек, координаты которых связаны функциональной зависимостью.
При Табличном способе задания функции выписываются в определенном порядке значения аргумента и соответствующие значения функции. Таблица дает не все значения функции, причем промежуточные значения функции могут быть найдены лишь приближенно при решении интерполяционной задачи. Поэтому в общем случае найти точное аналитическое выражение функции по ее табличным данным нельзя. Однако всегда можно построить интерполяционную формулу, и притом не одну (например, многочлен Лагранжа), которая для значений аргумента, имеющихся в таблице, будет давать соответствующие табличные значения функции.
Функции характеризуются рядом свойств, к важнейшим из которых относятся: четность, нули, периодичность, ограниченность, монотонность функции, а также наличие у функции асимптот и обратной функции:
- - Функция называется Четной, если для любого значения ее аргумента из области определения выполняется равенство. Сумма, разность и произведение четных функций есть функция четная; - Функция называется Нечетной, если для любого значения аргумента из области ее определения выполняется равенство. Сумма и разность нечетных функций есть функция нечетная, а частное и произведение нечетных функций - функция четная; - Нулями функции называют значения аргумента, при которых функция обращается в ноль. Графически нулями функции являются точки пересечения графика функции с осью абсцисс; - Функция называется Периодической, если существует число такое, что для каждого значения аргумента из области ее определения выполняется равенство. Число называют Периодом этой функции; - Функция называется Возрастающей на некотором промежутке, если для любых значений из этого промежутка, Большему значению аргумента соответствует Большее значение функции, т. е. . Функция называется Убывающей на некотором промежутке, если для любых значений из этого промежутка, Большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции, т. е. . Как возрастающие, так и убывающие функции называются Монотонными; - Асимптотой графика функции называется прямая, к которой сколь угодно близко приближается график данной функции при стремлении аргумента к бесконечности (горизонтальная и наклонная асимптоты), или к некоторому числу (вертикальная асимптота); - Функция называется Ограниченной сверху (Снизу), если существует число такое, что для каждого значения аргумента из области ее определения. Функция называется Ограниченной, если существует число такое, что для каждого значения аргумента из области ее определения ; - Функция называется Обратной по отношению к, если при подстановке ее вместо аргумента получается тождественное равенство: ; - Если каждому значению переменной соответствует одно значение переменной, то называется Однозначной функцией от ; если хотя бы некоторым значениям переменной соответствует несколько (два, три или бесконечное множество) значений, то называется Многозначной (двузначной, трехзначной и т. д.) функцией от.
Похожие статьи
-
ПОНЯТИЕ ФУНКЦИИ Если некоторому множеству значений поставлено по определенному правилу F во взаимнооднозначное соответствие некоторое множество, то тогда...
-
Ответ: Функция f называется четной если для любого х из ее области определения f(-x)=f(x) График четной функции симметричен относительно оси ординат....
-
Принцип сходимости, Предел функции. Теорема Гейне - Свойства функций
Рассмотрим вопрос о существовании пределов последовательностей концевых точек бесконечной системы промежутков, вложенных друг в друга. Лемма Кантора ....
-
На уровне общества для описания поведения потребителей вводится целевая функция потребления. Целевая функция потребления - функция, выражающая уровень...
-
Сходящиеся последовательности, Основные свойства сходящихся последовательностей: - Свойства функций
Говорят, что Последовательность сходится, если существует число такое, что для любого существует такое , что для любого , выполняется неравенство: ....
-
Функции и ее свойства - Методы решения системы линейных уравнений
В современной математике понятие множества является одним из основных. Универсальность этого понятия в том, что под него можно подвести любую...
-
Теория алгоритмов. Основные результаты, Программы как данные - Рекурсивные функции
Вместо предисловия . Сверх-идеей любой научной теории можно считать перевод знания из сферы подсознательного, интуитивногов осознанную, точную и...
-
Ответ: 2) 3) 4) Знаки значений тригонометрических функций Ответ: Sin cos tg*ctg Таблица значений Ответ: Формулы сложения Ответ1 Формулы двойного...
-
Логарифм алгебраический угол число Формулы двойного аргумента Sin 2x=2sin xЧcos x Cos 2x=cosІx-sinІx Cos 2x=1-2sinІx Cos 2x=2cosІx-1 Обратные...
-
Основные понятия линейного программирования - Оптимальное программирование
Математические исследования отдельных экономических проблем, математическая формализация числового материала проводилась еще в XIX веке. При...
-
Основные понятия корреляционно-регрессионного анализа Теория и методы корреляционного анализа используются для выявления связи между случайными...
-
Бесконечные пределы - Свойства функций
Функция называется Бесконечно малой при (или, или ) если для сколь угодно малого положительного числа найдется такое положительное число (), что для всех...
-
Односторонние пределы, Пределы на бесконечности - Свойства функций
В определении предела функции предполагалось, что произвольным образом. Если при вычислении предела функции при считать, что, то получают Односторонний...
-
Опытом называется всякое осуществление определенных условий и действий, при которых наблюдается изучаемое случайное явление. Опыты можно характеризовать...
-
Непрерывность функции - Свойства функций
Рассмотрим функцию, определенную на промежутке Пусть. Функция называется непрерывной в точке, если Функция называется Непрерывной слева (справа) в точке,...
-
Сложение, вычитание, умножение комплексных чисел в алгебраической форме производят по правилам соответствующих действий над многочленами. Четность и...
-
Понятие числовой последовательности - Свойства функций
Числовой последовательностью называется числовая функция, определенная на множестве натуральных чисел . Если функцию задать на множестве натуральных...
-
Непрерывность композиции, Точки разрыва - Свойства функций
Пусть задана функция, со значениями в, и на множестве определена функция со значениями в. Тогда для любого можно вычислить, на можно определить функцию...
-
Пусть функция определена в промежутке Х (рис.1). Исходя из некоторого значения независимой переменной, придадим ему приращение, не выводящее его из...
-
Введение - Основные понятия теории вероятностей
Каждая наука, развивающая общую теорию какого-либо круга явлений, содержит ряд основных понятий, на которых она базируется. Таковы, например, в геометрии...
-
Гамильтоновы циклы, Основные понятия и определения - Гамильтоновы циклы
Название "гамильтонов цикл" произошло от задачи "Кругосветное путешествие" предложенной ирландским математиком Вильямом Гамильтоном в 1859 году. Нужно...
-
Модель в общем смысле (обобщенная модель) есть создаваемый с целью получения и (или) хранения информации специфический объект (в форме мысленного образа,...
-
Еще одним подходом к проблеме формализации алгоритма являются, так называемые, рекурсивные функции. Исторически этот подход возник первым, поэтому в...
-
ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ СКАЛЯРНЫХ И ВЕКТОРНЫХ ВЕЛИЧИН Величины называют Скалярными (скалярами), Если они после выбора единиц измерения полностью...
-
Свойство 1. Вероятность достоверного события равна единице. Действительно, если событие достоверно, то каждый элементарный исход испытания...
-
Теорема: Непрерывная на сегменте функция интегрируема на этом сегменте. Теорема: Если функция определена и ограничена на сегменте, и если для любого...
-
Основные понятия информационного моделирования - Понятие об информационном моделировании
Остановимся на информационных моделях, отражающих процессы возникновения, передачи, преобразования и использования информации в системах различной...
-
Основные понятия и определения проблемы прогнозирования - Прогнозирующие системы
Необходимо отметить, что мы рассматриваем прогнозирование в целях планирования производства или управления запасами. Таким образом, наш интерес лежит в...
-
Основные понятия сетевых и графовых моделей Объектом исследования является сеть, состоящая из узлов и линий связи. Предполагается, что в сети имеется два...
-
Основные понятия эконометрики Эконометрика - самостоятельная экономическая дисциплина, занимающаяся разработкой и применением статистических методов для...
-
ПРОИЗВОДНАЯ, ЕЕ СВОЙСТВА И ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СМЫСЛ. ДИФФЕРЕНЦИАЛ. ПРОИЗВОДНАЯ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ Если отношение имеет предел при этот предел называют...
-
Пусть { , , ..., } - множество возможных состояний некоторой физической системы. В любой момент времени система может находиться только в одном...
-
Логарифм числа b по основанию a (logAB) определяется как показатель степени, в которую надо возвести число a, чтобы получить число b (Логарифм существует...
-
Кислород: история открытия и основные свойства
Кислород - элемент главной подгруппы шестой группы, второго периода периодической системы химических элементов Д. И. Менделеева, с атомным номером 8....
-
Пусть на некотором отрезке [a, b] задана кусочно-монотонная функция f(x). Покажем, что данную функцию в точках ее непрерывности можно представить в виде...
-
Ответ: уравнение ax2+bx+c=0. Где а не равно нулю, называется квадратным. Чтобы его решить нужно вычислить дискриминант. D=b2 -4ac и сравнить его с нулем....
-
РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ О КОММИВОЯЖЕРЕ МЕТОДОМ ВЕТВЕЙ И ГРАНИЦ: ОСНОВНАЯ СХЕМА - Задача коммивояжера
Пусть - конечное множество и - вещественно-значная функция на нем; требуется найти минимум этой функции и элемент множества, на котором этот минимум...
-
Теорема: Для того, чтобы ограниченная на сегменте функция была интегрируемой на этом сегменте, необходимо и достаточно, чтобы для любого нашлось такое...
-
Q(x) - соответствует площади боковой поверхности данного тела от точки А до точки х. Q(x)>х€[a, x]. Q (x+?x)>х€[a, x+?x], тогда ?Q=Q...
-
Понятие о рядах динамики - Методы анализа основной тендеции развития в рядах динамики
Одной из важнейших задач статистики является изучение изменений анализируемых показателей во времени, т. е. их динамика. Эта задача решается при помощи...
ФУНКЦИИ, Основные понятия - Свойства функций