Необходимое и достаточное условие интегрируемости, Равномерно непрерывные функции - Определенные интегралы

Теорема: Для того, чтобы ограниченная на сегменте функция была интегрируемой на этом сегменте, необходимо и достаточно, чтобы для любого нашлось такое разбиение сегмента, для которого.

Определение: Число называется колебанием функции на сегменте.

Так как, то. Далее запишем в следующей форме:

.

Теорема: Для того, чтобы ограниченная на сегменте функция была интегрируемой на этом сегменте, необходимо и достаточно, чтобы для любого нашлось такое разбиение сегмента, для которого.

Другими словами, необходимым и достаточным условием интегрируемости функции на промежутке является выполнение условия

, или, где.

Равномерно непрерывные функции

Определение: Функция называется Равномерно непрерывной на множестве , если для любого числа можно указать такое, что для любых двух точек и множества, удовлетворяющих уравнению, выполняется неравенство.

Теорема (теорема Кантора о равномерной непрерывности): Функция, определенная и непрерывная на сегменте равномерно непрерывна на этом сегменте. Следствие: Пусть функция непрерывна на сегменте. Тогда для любого числа можно указать такое, что на каждом принадлежащем сегменту частичном сегменте, длина которого меньше, колебание функции меньше.

Похожие статьи




Необходимое и достаточное условие интегрируемости, Равномерно непрерывные функции - Определенные интегралы

Предыдущая | Следующая