Несобственные интегралы, Интегрирование неограниченных функций - Определенные интегралы

При рассмотрении задачи интегрирования непрерывных и кусочно-непрерывных функций предполагалось, что эти подынтегральные функции являются ограниченными на отрезке интегрирования, а сам отрезок является конечным. Постановка задачи интегрирования возможна, когда одно из этих условий или оба они нарушены. В этом случае интегралы называются несобственными, а задача интегрирования формулируется несколько иначе. Рассмотрим оба случая:

    - Подынтегральная функция неограниченна; - Промежуток интегрирования бесконечен.
Интегрирование неограниченных функций

Предположим, что функция определена и непрерывна на промежутке и стремится к бесконечности при. Точку называют особой, если функция не ограничена в любой окрестности этой точки, но ограничена на любом отрезке, заключенном в промежутке.

Определение: Пусть функция неограничена на отрезке, однако ограничена на любом меньшем отрезке, где. Тогда, если существует конечный предел, то его принимают за несобственный интеграл от неограниченной функции, т. е.:

,

А интеграл называется сходящимся. Если этого предела не существует, или он бесконечен, то интеграл называется раСходящимся.

Если особой точкой является точка , то несобственный интеграл определяется аналогично:

.

Если единственной особой точкой является внутренняя точка, принадлежащая интервалу, то полагают, что:

При условии, что оба несобственных интеграла справа сходятся.

Похожие статьи




Несобственные интегралы, Интегрирование неограниченных функций - Определенные интегралы

Предыдущая | Следующая