Принципы построения программ с автоматическим выбором шага, Решение задачи, Блок-схема программы, Результаты решения - Вычисление кратных интегралов методом ячеек с автоматическим выбором шага

При написании программ численного интегрирования желательно, чтобы для любой функции распределение узлов являлось оптимальным или близким к нему. Однако в случае резко меняющихся функций возникают некоторые проблемы. Если первоначальная сетка, на которой исследуется подынтегральная функция, частая, то сильно загружается память ЭВМ; если она редкая, то не удается хорошо аппроксимировать оптимальное распределение узлов на участках резкого изменения подынтегральной функции. Рассмотрим некоторые из процедур распределения узлов интегрирования, обеспечивающие лучшее приближение к оптимальному распределению узлов для функций с особенностями.

Пусть на элементарном отрезке интегрирования вычисляется приближенное значение интеграла и мера погрешности. Требуется вычислить

.

Первая процедура, которую естественно назвать горизонтальной, определяется заданием параметро

.

Полагаем

.

Предположим, что каким-то образом уже вычислено приближенное значение интеграла

.

Программа располагает в каждый момент времени некоторым значением, с которым надо начинать считать оставшуюся часть интеграла. Вычисляем величину, соответствующую отрезку

Если оказалось

,

То вычисляем приближенное значение

И полагаем

.

Мы получили приближенное значение величины

.

В случае

Полагаем

,

В противном случае полагаем

.

Мы готовы к следующему шагу. Если оказалось

,

То принимаем за новое значение величины и возвращаемся к исходной позиции: вычислено значение интеграла

И задан шаг. Начальные условия для применения процедуры:

Процедура должна также иметь блок окончания работы: если оказалось, что

,

То следует положить

.

Установилась практика брать

.

Другая процедура, которую можно назвать вертикальной, определяется заданием числа и заключается в следующем. Пусть на каком-то шаге возникает необходимость вычисления интеграла по отрезку разбиения :

;

Вычисляется величина, соответствующая этому отрезку. Если она оказалась меньше, то этот интеграл вычисляется по соответствующей формуле и программа переходит к следующему справа отрезку разбиения. В противном случае отрезки

и

Объявляются отрезками разбиения, и программа обращается к вычислению интеграла по левому из этих отрезков. В начале работы программа обращается к вычислению исходного интеграла

.

Некоторым недостатком этой процедуры является необходимость запоминания отрезков разбиения, интегрирование по которым на данный момент не произведено.

3 Практическая часть

Решение задачи

Наложим на область G прямоугольную сетку с шагами

и,

Вследствие чего получим внутреннюю прямоугольную ячейку с площадью

И координатами центра

И две граничные треугольные ячейки с площадями и координатами центров соответственно

, и.

Не учитывая граничные ячейки, получаем:

.

Дополнение от граничных ячеек:

.

Окончательно получаем:

Блок-схема программы

За программой и блок-схемой по данной теме обращайтесь по адресу: \n Этот адрес e-mail защищен от спам-ботов. Чтобы увидеть его, у Вас должен быть включен Java-Script

Результаты решения

Расчет проводился при точности eps=1E-6.

Интеграл равен: 0.221612

Количество ячеек равно 8525.

Похожие статьи

• Кубатурная формула типа Симпсона - Вычисление кратных интегралов методом ячеек с автоматическим выбором шага

  Пусть сначала область интегрирования есть K-мерный пространственный параллелепипед (рис. 5), стороны которого параллельны осям координат. Каждый из...

• Постановка задачи, Понятие о кубатурных формулах, Метод ячеек - Вычисление кратных интегралов методом ячеек с автоматическим выбором шага

  Найти при помощи метода ячеек значение интеграла , Где - область, ограниченная функциями . 2. Теоретическая часть Рассмотрим K-мерный интеграл вида: (1)...

• Последовательное интегрирование - Вычисление кратных интегралов методом ячеек с автоматическим выбором шага

  Снова рассмотрим интеграл по K-мерной области, разбитой сеткой на ячейки (рис. 2). Его можно вычислить последовательным интегрированием: Каждый...

• Программа вычисления определенного интеграла методом Монте-Карло - Применение метода Монте-Карло в эконометрическом анализе

  Вычислить определенный интеграл по методу "Монте-Карло" по формуле , Где n - число испытаний; G(x) - плотность распределения "вспомогательной" случайной...

• Автоматизированное решение транспортной задачи линейного программирования, Определить количество закупаемого заданным филиалом фирмы сырья у каждого АО, (xj), максимизируя прибыль филиала., С помощью полученных в результате реализации модели отчетов сделать рекомендации филиалу фирмы по расширению программы выпуска ассортимента продукции. - Определение оптимальной стратегии рыночного поведения с использованием макроэкономических методов и моделей

  В разделе 1 курсовой работы требуется: Определить количество закупаемого заданным филиалом фирмы сырья у каждого АО, (xj), максимизируя прибыль филиала....

• Вычисление кратных интегралов методом Монте-Карло - Применение метода Монте-Карло в эконометрическом анализе

  Пусть функция непрерывна в ограниченной замкнутой области S и требуется вычислить m-кратный интеграл . (1) Геометрически число I представляет собой...

• Геометрический смысл определенного интеграла - Неопределенный интеграл

  О: Площадь криволинейной трапеции равна определенному интегралу, вычисленному от функции, график которой является верхним основанием, а ось абсцисс -...

• Разложение правильной рациональной дроби на сумму простейших дробей. - Методы решения системы линейных уравнений

  Любая правильная рациональная дробь P(x)/Q(x) может быть единственным образом представлена в виде суммы простейших рациональных дробей. Для этого прежде...

• Способ, основанный на истолковании интеграла как площади - Применение метода Монте-Карло в эконометрическом анализе

  Пусть подынтегральная функция неотрицательна и ограничена: , а двумерная случайная величина распределена равномерно в прямоугольнике D с основанием и...

• Приближенное вычисление определенных интегралов, Формула прямоугольников - Определенные интегралы

  Задача вычисления определенного интеграла не всегда может быть сведена к первообразной, поэтому разработаны численные методы, которые позволяют найти...

• Процедура решения задач минимизации издержек - Модель оценки издержек в системе складского комплекса

  Пусть Z есть вектор, компонентами которого являются все переменные, по которым проводится оптимизация, то есть все компоненты вектора Z . В соответствии...

• О разложении в ряд Фурье непериодической функции - Приложение интегрального и дифференциального исчисления к решению прикладных задач

  Пусть на некотором отрезке [a, b] задана кусочно-монотонная функция f(x). Покажем, что данную функцию в точках ее непрерывности можно представить в виде...

• Геометрический смысл задачи Каши, Методы решения дифференциальных уравнений - Неопределенный интеграл

  Любое частное решения уравнения (1) на координатной плоскости х0у изображено в виде графика функции у=у (х, с) (с=const). В теории дифференциальных...

• Способ существенной выборки, использующий "вспомогательную плотность распределения" - Применение метода Монте-Карло в эконометрическом анализе

  Монте карло погрешность распределение интеграл В качестве оценки интеграла принимают , Где n - число испытаний; F(x) - плотность распределения...

• Некоторые особенности решения задач нелинейного программирования - Экономико-математические методы

  Для решения ЗНП существенно знать: 1) выпукло или не выпукло множество допустимых решений задачи; 2) является ли целевая функция выпуклой или вогнутой...

• Нелинейное программирование - Реферативно-прикладное исследование применения экономико-математических методов в решении задач производства (метод нелинейного программирования)

  Это раздел математического программирования, изучающий методы решения таких экстремальных задач, в которых результаты (эффективность) возрастают или...

• РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ О КОММИВОЯЖЕРЕ МЕТОДОМ ВЕТВЕЙ И ГРАНИЦ: ОСНОВНАЯ СХЕМА - Задача коммивояжера

  Пусть - конечное множество и - вещественно-значная функция на нем; требуется найти минимум этой функции и элемент множества, на котором этот минимум...

• Основные формулы интегрирования (табличные интегралы) - Методы решения системы линейных уравнений

  1. ?dx = x+C 2. ?xNDx = (xN+1/(n+1))+C (n?-1) 3. ?(dx/x) = ln(x)+C 4. ?aXDx = aXLn(a)+C 5. ?eXDx = eX +C 6. ?sin(x)dx = -...

• Теория игр - Реферативно-прикладное исследование применения экономико-математических методов в решении задач производства (метод нелинейного программирования)

  При решении экономических задач часто анализировать ситуации, в которых сталкиваются интересы двух или более конкурирующих сторон, преследующих различные...

• Обобщенные интервальные оценки исходных данных - Метод представления знаний в интеллектуальных системах поддержки экспертных решений

  Построим теперь на базе полиинтервальной оценки такую теоретико-вероятностную модель представления экспертных знаний, которая сочетала бы в себе описание...

• Теория алгоритмов. Основные результаты, Программы как данные - Рекурсивные функции

  Вместо предисловия . Сверх-идеей любой научной теории можно считать перевод знания из сферы подсознательного, интуитивногов осознанную, точную и...

• Анализ чувствительности оптимального решения ЗЛП к вариациям коэффициентов целевой функции., Графический способ анализа чувствительности оптимального решения к вариациям C[j - Исследование чувствительности оптимального решения задачи линейного программирования к вариациям ее параметров и введению нового ограничения

  Вариации коэффициентов целевой функции ЗЛП приводят к изменению направления вектора градиента. Так как при этом не затрагивается допустимое множество, то...

• Функции распределения вероятностей для параметров, описываемых обобщенными интервальными оценками - Метод представления знаний в интеллектуальных системах поддержки экспертных решений

  Пусть Dl, r() соответственно левые (правые) границы интервалов I, отвечающих на криволинейной трапеции ОИО значениям 0< < 1. Тогда интересующая нас...

• Элементы матричного анализа - Методы решения системы линейных уравнений

  Вектором, как на плоскости, так и в пространстве, называется направленный Отрезок , то есть такой Отрезок , один из концов которого выделен и называется...

• Алгоритм расчета неизвестных коэффициентов уравнения регрессии, Статистический анализ полученных результатов - Методы регрессионного анализа и планирования эксперимента

  Составляется матрица численных значений базисных функций, соответствующая расширенной матрице спектра плана Вычисляется информационная матрица...

• Производной. - Методы решения системы линейных уравнений

  Наиболее просто основные теоремы дифференциального исчисления формулируются для гладких функций. [ Править ] Производные и гладкие функции Пусть функция...

• Приближенные методы. - Особенности математического моделирования задач, связанных с календарным планированием производственных процессов

  К числу приближенных методов оптимизации задач календарного планирования относятся: частичный и направленный перебор, метод Монте-Карло,...

• Вычисление интегралов методом Монте-Карло, Алгоритмы метода Монте-Карло для решения интегральных уравнений второго рода - Применение метода Монте-Карло в эконометрическом анализе

  Алгоритмы метода Монте-Карло для решения интегральных уравнений второго рода Пусть необходимо вычислить линейный функционал , Где, причем для...

• Решение задач ЛП с использованием программы (Simplex), Заключение - Решение оптимизационных экономических задач методами линейного программирования

  Как известно решение задач симплексным методом применяется очень часто. Это связано с тем, что симплексный метод подходит для решения широкого круга...

• Классификационная схема характеристик сложности задачи выбора пути в условиях неопределенности - Модели и методы решения проблемы выбора в условиях неопределенности

  Наличие особых ситуаций на террайне зависит от характеристик его сложности. Ниже приведена возможная классификационная схема характеристик сложности...

• Несобственные интегралы, Интегрирование неограниченных функций - Определенные интегралы

  При рассмотрении задачи интегрирования непрерывных и кусочно-непрерывных функций предполагалось, что эти подынтегральные функции являются ограниченными...

• Способ усреднения подынтегральной функции - Применение метода Монте-Карло в эконометрическом анализе

  В качестве оценки определенного интеграла принимают , Где n - число испытаний; - возможные значения случайной величины X, распределенной равномерно в...

• Определение определенного интеграла - Определенный интеграл

  Пусть в интеграле нижний предел а = const, а верхний предел b изменяется. Очевидно, что если изменяется верхний предел, то изменяется и значение...

• Особенности постановки и решения общей задачи линейного программирования - Определение оптимальной стратегии рыночного поведения с использованием макроэкономических методов и моделей

  Второй раздел курсовой работы посвящен особенностям постановки и решения общей задачи линейного программирования, а именно, транспортной задаче (ТЗЛП)....

• Метод решения задачи - Многокритериальная оптимизация на основе нейросетевой, нечеткой и нейро-нечеткой аппроксимации функции предпочтений лица, принимающего решения

  Многокритериальный оптимизация нейронный аппроксимация Общая схема рассматриваемого метода является итерационной и состоит из следующих основных этапов....

• Сетевое планирование и управление - Реферативно-прикладное исследование применения экономико-математических методов в решении задач производства (метод нелинейного программирования)

  Иногда необходимо управлять сложными комплексами взаимосвязанных работ, направленных на достижение определенных целей. Примерами таких комплексов в...

• Введение - Реферативно-прикладное исследование применения экономико-математических методов в решении задач производства (метод нелинейного программирования)

  Большое число экономических и планово-производственных задач связано с распределением каких-либо, как правило, ограниченных ресурсов (сырья, рабочей...

• Постановка задачи, Основные сведения - Комплексное исследование численных методов для задачи решения нелинейных уравнений

  Провести комплексное исследование численных методов для задачи решения нелинейных уравнений. 1. Решить нелинейные уравнения А) ; Б) ; В) . 2....

• Теоремы двойственности и их использование в задачах ЛП - Решение оптимизационных экономических задач методами линейного программирования

  Исходная задача: При ограничениях: Двойственной является следующая задача: При ограничениях: Число неизвестных в двойственной задаче равно 2....

• Геометрический метод решения задач ЛП - Решение оптимизационных экономических задач методами линейного программирования

  Необходимо найти минимальное значение целевой функции F = 4x1+18x2 > min, при системе ограничений: X1+4x2?14(1) X1+6x2?15(2) X1+x2?5(3)...

Принципы построения программ с автоматическим выбором шага, Решение задачи, Блок-схема программы, Результаты решения - Вычисление кратных интегралов методом ячеек с автоматическим выбором шага

Предыдущая | Следующая