Площадь криволинейной трапеции - Определенный интеграл

Определение. Фигура, ограниченная графиком непрерывной, знакопостоянной функции f(x), осью абсцисс и прямыми X=a, x=b, Называется криволинейной трапецией.

Способы нахождения площади криволинейной трапеции

Теорема. Если f(x) непрерывная и неотрицательная функция на отрезке [a;b], то площадь соответствующей криволинейной трапеции равна приращению первообразных.

Дано: f(x)- непрерывная неопр. функция, x[a;b].

Доказать: S = F(b) - F(a), где F(x) - первообразная f(x).

Доказательство:

1) Рассмотрим вспомогательную функцию S(x). Каждому x[a;b] Поставим в соответствие ту часть криволинейной трапеции (рис 4), которая лежит левее прямой, проходящей через точку с этой абсциссой и параллельно оси ординат.

Следовательно, S(a)=0 и S(b)=SТр 2) Докажем, что S(a) - первообразная f(x).

D( f ) = D(S) = [a;b]

S'(x0)= lim( S(x0+x) - S(x0) / x ), при x0 S - Прямоугольник

При x0 со сторонами x и f(x0)

S'(x0) = lim(x f(x0) /x) = lim f(x0) = f(x0): т. к. x0 точка,

X0 X0

То S(x) - первообразная F(x).

Следовательно, по теореме об общем виде первообразной

S(x) = F(x) + C.

Т. к. S(a)=0, то S(a) = F(a)+C

C = - Fa

    S = S(b)=F(b)+C = F(b)-F(a) 1). Разобьем отрезок [a;b] на N равных частей (рис 5). Шаг разбиения

X=(b-A)/n. При этом SТр=lim(f(x0)x+f(x1)x+...+f(xN))x=

N

= lim x(f(x0)+f(x1)+...+f(xN))

При N получим, что SТр= X(f(x0)+f(x1)+...+f(xN))Предел этой суммы называют определенным интегралом.

B

SТр= F(x)dx.

A

Сумма, стоящая под пределом, называется интегральной суммой.

Определенный интеграл это предел интегральной суммы на отрезке [a;b] при n. Интегральная сумма получается как предел суммы произведений длины отрезка, полученного при разбиении области определения функции в какой либо точке этого интервала.

A -- нижний предел интегрирования;

B -- верхний предел интегрирования.[10]

Похожие статьи




Площадь криволинейной трапеции - Определенный интеграл

Предыдущая | Следующая