ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ, Интегральные суммы - Определенные интегралы

Интегральные суммы

Пусть функция задана на сегменте, . Обозначим символом разбиение сегмента при помощи некоторых несовпадающих друг с другом точек на частичных сегментов, , , . Точки, , , будем называть точками разбиения. Пусть - произвольная точка частичного сегмента, а - разность, которую мы в дальнейшем будем называть длиной частичного сегмента.

Определение. Число, где:

Называется Интегральной суммой (или суммой Римана) функции, соответствующей разбиению сегмента и данному выбору промежуточных точек на частичных сегментах.

Геометрический смысл интегральной суммы - площадь ступенчатой фигуры.

Введем обозначение.

Определение. Число называется Пределом интегральных сумм при, если для любого положительного можно указать такое число, что для любого разбиения сегмента, для которого максимальная длина частичных сегментов меньше, независимо от выбора точек, на сегментах выполняется неравенство

, т. е. .

Определение.: Функция называется Интегрируемой (по Риману) на сегменте, если существует конечный предел интегральных сумм этой функции при. Указанный предел называется Определенным интегралом функции по сегменту и обозначается следующим образом:

.

Числа и называются, соответственно, верхним и нижним пределом интегрирования, а отрезок - интервалом интегрирования. В случае определенный интеграл равен площади криволинейной трапеции, границами которой являются: ось, линии и, а также график функции. Обозначим через и соответственно точную верхнюю и точную нижнюю грани этой функции на сегменте.

Определение: Суммы:

Называют соответственно верхней и нижней суммами Дарбу функции для данного разбиения сегмента.

Очевидно, что любая интегральная сумма данного разбиения сегмента заключена между верхней и нижней суммой и этого разбиения.

Свойства верхних и нижних сумм:

    1. Для любого фиксированного разбиения и для любого промежуточные точки на сегментах можно выбрать так, что интегральная сумма будет удовлетворять неравенствам. Точки на сегментах можно выбрать также и таким образом, что интегральная сумма будет удовлетворять неравенствам. 2. Если разбиение сегмента получено путем добавления новых точек к точкам разбиения этого сегмента, то для верхних и нижних сумм этих разбиений выполнены неравенства и. 3. Пусть и - любые два разбиения сегмента. Тогда если, и, - соответственно нижние и верхние суммы разбиений и, то и. 4. Множество верхних сумм данной функции для всевозможных разбиений сегмента ограничено снизу. Множество нижних сумм ограничено сверху.

Обозначим через точную нижнюю грань множества верхних сумм, а через - точную верхнюю грань множества нижних сумм.

Определение: Числа и называются соответственно верхним и нижним интегралами Дарбу от функции.

    5. Пусть разбиение сегмента получено из разбиения добавлением к последнему новых точек, и пусть, если, и, - соответственно нижние и верхние суммы разбиений и. Тогда для разностей и может быть получена оценка, зависящая от максимальной длины частичных сегментов разбиения, числа добавленных точек и точных верхней и нижней граней и функции на сегменте. Именно и. 6. Лемма Дарбу: Верхний и нижний интеграл Дарбу и от функции по сегменту являются соответственно пределами верхних и нижних сумм при и, следовательно, :

, , и при этом.

Похожие статьи




ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ, Интегральные суммы - Определенные интегралы

Предыдущая | Следующая