Приложения определенного интеграла. Площадь плоской фигуры - Определенные интегралы

Определение: Плоская фигура - часть плоскости, ограниченная простой замкнутой кривой, при этом кривая называется границей фигуры.

Определение: Мы будем говорить, что многоугольник вписан в фигуру, если каждая точка этого многоугольника принадлежит фигуре или ее границе.

Определение: Если все точки плоской фигуры и ее границы принадлежат некоторому многоугольнику, то мы будем говорить, что указанный многоугольник описан вокруг фигуры.

Замечание: Площадь любого вписанного в фигуру многоугольника не больше площади любого описанного вокруг фигуры многоугольника.

Пусть - числовое множество площадей вписанных в плоскую фигуру многоугольников, а - числовое множество площадей описанных вокруг плоской фигуры многоугольников. Очевидно, что множество ограничено сверху (площадью любого описанного вокруг фигуры многоугольника), а множество ограничено снизу (например, числом нуль).

Обозначим через точную верхнюю грань множества, через точную нижнюю грань множества.

Числа и называются соответственно нижней площадью и верхней площадью фигуры

Замечание: Нижняя площадь фигуры не больше верхней площади, т. е. .

Определение. Плоская фигура называется Квадрируемой, если верхняя площадь этой фигуры совпадает с ее нижней площадью. При этом число называется Площадью фигуры .

Теорема: Для того чтобы плоская фигура была квадирируемой, необходимо и достаточно, чтобы для любого положительного числа можно было указать такой описанный вокруг фигуры многоугольник и такой вписанный в фигуру многоугольник, что разность площадей которых была бы меньше, .

Определение: Криволинейной трапецией называется фигура, ограниченная графиком заданной на сегменте непрерывной и неотрицательной функции, ординатами, проведенными в точках и, и отрезком оси между точками и.

Теорема: Криволинейная трапеция представляет собой квадрируемую фигуру, площадь которой может быть вычислена по формуле:

.

Похожие статьи

• Объемы тел вращения - Определенные интегралы

  Пусть - некоторое конечное тело. Рассмотрим всевозможные многогранники, вписанные в тело, и всевозможные многогранники, описанные вокруг тела. Пусть -...

• ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ, Интегральные суммы - Определенные интегралы

  Интегральные суммы Пусть функция задана на сегменте, . Обозначим символом разбиение сегмента при помощи некоторых несовпадающих друг с другом точек на...

• Интегрируемость непрерывных, разрывных и монотонных функций, Основные свойства определенного интеграла - Определенные интегралы

  Теорема: Непрерывная на сегменте функция интегрируема на этом сегменте. Теорема: Если функция определена и ограничена на сегменте, и если для любого...

• Площадь поверхности вращения - Определенный интеграл

  Пусть кривая АВ Является графиком функции У = f(х) ? 0, где Х [а;b], А функция У = F(х) И ее производная У' = f'(х) Непрерывны на этом отрезке....

• Необходимое и достаточное условие интегрируемости, Равномерно непрерывные функции - Определенные интегралы

  Теорема: Для того, чтобы ограниченная на сегменте функция была интегрируемой на этом сегменте, необходимо и достаточно, чтобы для любого нашлось такое...

• Площадь криволинейной трапеции - Определенный интеграл

  Определение . Фигура, ограниченная графиком непрерывной, знакопостоянной функции f(x), осью абсцисс и прямыми X=a, x=b, Называется криволинейной...

• Определение определенного интеграла - Определенный интеграл

  Пусть в интеграле нижний предел а = const, а верхний предел b изменяется. Очевидно, что если изменяется верхний предел, то изменяется и значение...

• Несобственные интегралы, Интегрирование неограниченных функций - Определенные интегралы

  При рассмотрении задачи интегрирования непрерывных и кусочно-непрерывных функций предполагалось, что эти подынтегральные функции являются ограниченными...

• Нахождение площади поверхности тела вращения, Способ задания функции двух переменных. - Неопределенный интеграл

  Q(x) - соответствует площади боковой поверхности данного тела от точки А до точки х. Q(x)>х€[a, x]. Q (x+?x)>х€[a, x+?x], тогда ?Q=Q...

• Интегрирование по бесконечному промежутку - Определенные интегралы

  Определение: Пусть функция интегрируема на каждом отрезке, т. е. существует определенный интеграл. Тогда за несобственный интеграл принимают предел. Если...

• Геометрический смысл определенного интеграла - Неопределенный интеграл

  О: Площадь криволинейной трапеции равна определенному интегралу, вычисленному от функции, график которой является верхним основанием, а ось абсцисс -...

• Оценки интегралов. Формулы среднего значения, Основные правила интегрирования - Определенные интегралы

  1. Пусть интегрируемая на сегменте функция неотрицательна на этом сегменте. Тогда: . 2. Если функция интегрируемая на сегменте и, то: . 3. Если функция...

• Вычисление объема тела п площади параллельных плоскостных сечений. Вычисление объема тела вращения - Неопределенный интеграл

  Пусть в пространстве дано тело, ограниченное некоторой замкнутой поверхностью и пусть известна площадь любого его сечения, полученного плоскость,...

• Способ, основанный на истолковании интеграла как площади - Применение метода Монте-Карло в эконометрическом анализе

  Пусть подынтегральная функция неотрицательна и ограничена: , а двумерная случайная величина распределена равномерно в прямоугольнике D с основанием и...

• Интегрирование некоторых классов тригонометрических функций, Определенный интеграл. - Неопределенный интеграл

  Пусть R= R (sinx, cosx) является рациональной функцией. Т: Интеграл ?R (sinx, cosx) dx при помощи подстановки t=tg (x/2) [1] преобразуется в интеграл...

• Введение - Определенный интеграл

  Мною была выбрана курсовая работа по теме "Определенный интеграл. Приложения определенного интеграла", в связи с этим, я решила узнать, откуда появился...

• Принцип сходимости, Предел функции. Теорема Гейне - Свойства функций

  Рассмотрим вопрос о существовании пределов последовательностей концевых точек бесконечной системы промежутков, вложенных друг в друга. Лемма Кантора ....

• Несобственный интеграл. - Неопределенный интеграл

  Несобственные интегралы I рода. О: Несобственным интегралом I рода от функции f(x), определенным на множестве [а,?], называется предел, к которому...

• Геометрический смысл задачи Каши, Методы решения дифференциальных уравнений - Неопределенный интеграл

  Любое частное решения уравнения (1) на координатной плоскости х0у изображено в виде графика функции у=у (х, с) (с=const). В теории дифференциальных...

• Неопределенный интеграл, Свойства неопределенных интегралов - Неопределенный интеграл

  О: Первообразной от функции y=f(x) называется функция F(x), такая что F' (x)=f(x) Т: Всякая непрерывная функция y=f(x) имеет бесконечное множество...

• Программа вычисления определенного интеграла методом Монте-Карло - Применение метода Монте-Карло в эконометрическом анализе

  Вычислить определенный интеграл по методу "Монте-Карло" по формуле , Где n - число испытаний; G(x) - плотность распределения "вспомогательной" случайной...

• Приближенное вычисление определенных интегралов, Формула прямоугольников - Определенные интегралы

  Задача вычисления определенного интеграла не всегда может быть сведена к первообразной, поэтому разработаны численные методы, которые позволяют найти...

• Заключение - Определенный интеграл

  Интеграл лагранж функция коши Наука прошла большой и сложный путь развития от самого элементарного к более сложному. Человечество прошло и проходит...

• Длина дуги кривой - Определенный интеграл

  Прямоугольные координаты Пусть в прямоугольных координатах дана плоская кривая AB, уравнение которой y = f(x), где a ? x ? b. (рис 1). Под длиной...

• 7. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ, ПОНЯТИЕ ФУНКЦИИ, ЧИСЛОВАЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ. ПРЕДЕЛ ЧИСЛОВОЙ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ - Скалярные и векторные величины, матрицы и функции

  ПОНЯТИЕ ФУНКЦИИ Если некоторому множеству значений поставлено по определенному правилу F во взаимнооднозначное соответствие некоторое множество, то тогда...

• Решетки (структуры) - Формационные основы универсальных алгебр

  Понятие решетки (пример 11) играет исключительно важную роль в изучении самых общих алгебр. И это, в первую очередь, связано с иным подходом в...

• ФУНКЦИИ, Основные понятия - Свойства функций

  Основные понятия При изучении различного рода явлений приходится иметь дело с совокупностью переменных величин, которые связаны между собой таким...

• Теоремы Ферма, Ролля, Лагранжа и Коши

  Введение В данном реферате рассматриваются теоремы Ферма, Ролля, Лагранжа и Коши. "Теорема - высказывание, нравственность которого установлена при помощи...

• Постановка задачи, Понятие о кубатурных формулах, Метод ячеек - Вычисление кратных интегралов методом ячеек с автоматическим выбором шага

  Найти при помощи метода ячеек значение интеграла , Где - область, ограниченная функциями . 2. Теоретическая часть Рассмотрим K-мерный интеграл вида: (1)...

• О разложении в ряд Фурье непериодической функции - Приложение интегрального и дифференциального исчисления к решению прикладных задач

  Пусть на некотором отрезке [a, b] задана кусочно-монотонная функция f(x). Покажем, что данную функцию в точках ее непрерывности можно представить в виде...

• Вычисление кратных интегралов методом Монте-Карло - Применение метода Монте-Карло в эконометрическом анализе

  Пусть функция непрерывна в ограниченной замкнутой области S и требуется вычислить m-кратный интеграл . (1) Геометрически число I представляет собой...

• Приложение - Анализ и моделирование инновационной активности малых и средних предприятий

  > Таблица 1 Факторы, сдерживающие инновационное развитие Т Аблица 2 Описательные статистики переменных кластерного анализа Описательные статистики...

• Литература: - Определенный интеграл

  Интеграл лагранж функция коши 1. Виленкин М. Я., О. С. Ивашев - Мусатов, С. И. Шварцбурд, "Алгебра и математический анализ", Москва,1993г. 2. Власов В....

• Решение квадратных уравнений, Решение квадратных неравенств, Числовая функция и способы ее задания - Математика в современном мире

  Ответ: уравнение ax2+bx+c=0. Где а не равно нулю, называется квадратным. Чтобы его решить нужно вычислить дискриминант. D=b2 -4ac и сравнить его с нулем....

• Счетные и несчетные множества - Методы решения системы линейных уравнений

  Пусть, например, А и В Ї некоторые множества. Тогда их возможные взаимоотношения можно рассмотреть в виде таблицы: Диаграмма Венна Диаграмма Венна...

• Понятие числовой последовательности - Свойства функций

  Числовой последовательностью называется числовая функция, определенная на множестве натуральных чисел . Если функцию задать на множестве натуральных...

• Действия над комплексными числами в алгебраической форме, Четность и нечетность функции, Монотонность и периодичность функции, Предел функции в точке - Действительные числа. Тригонометрические функции числового аргумента. Логарифмы. Частные случаи решения тригонометрических уравнений

  Сложение, вычитание, умножение комплексных чисел в алгебраической форме производят по правилам соответствующих действий над многочленами. Четность и...

• Теоремы Эйлера и Ферма. Нахождение остатков от деления степеней - Разработка контрольных работ по математике

  В теории чисел большую роль играет числовая функция, называемая функцией Эйлера. Определение 3.1. Функцией Эйлера называется функция, определенная на...

• Классификационная схема характеристик сложности задачи выбора пути в условиях неопределенности - Модели и методы решения проблемы выбора в условиях неопределенности

  Наличие особых ситуаций на террайне зависит от характеристик его сложности. Ниже приведена возможная классификационная схема характеристик сложности...

• Сходящиеся последовательности, Основные свойства сходящихся последовательностей: - Свойства функций

  Говорят, что Последовательность сходится, если существует число такое, что для любого существует такое , что для любого , выполняется неравенство: ....

Приложения определенного интеграла. Площадь плоской фигуры - Определенные интегралы

Предыдущая | Следующая