Определение определенного интеграла - Определенный интеграл

Пусть в интеграле нижний предел а = const, а верхний предел b изменяется. Очевидно, что если изменяется верхний предел, то изменяется и значение интеграла.

Обозначим = f(х). Найдем производную функции f(х) по переменному верхнему пределу х.

Аналогичную теорему можно доказать для случая переменного нижнего предела.

Теорема 1: Для всякой функции f(x), непрерывной на отрезке [a, b], существует на этом отрезке первообразная, а значит, существует неопределенный интеграл.

Теорема 2: (Теорема Ньютона - Лейбница)

Если функция F(x) - какая - либо первообразная от непрерывной функции f(x), то:

Это выражение известно под названием формулы Ньютона - Лейбница.

Доказательство: Пусть F(x) - первообразная функции f(x). Тогда в соответствии с приведенной выше теоремой, функция - первообразная функция от f(x). Но т. к. функция может иметь бесконечно много первообразных, которые будут отличаться друг от друга только на какое - то постоянное число С, то

При соответствующем выборе С это равенство справедливо для любого х, т. е. при х = а:

Тогда.

А при х = b:

Заменив переменную t на переменную х, получаем формулу Ньютона - Лейбница:

Теорема доказана.

Иногда применяют обозначение F(b) - F(a) = F(x).

Формула Ньютона - Лейбница представляет собой общий подход к нахождению определенных интегралов.

Определение. Если существует конечный передел интегральной суммы (1)

При ?>0, не зависящий от способа разбиения ?N отрезка [a; b] на частичные отрезки и выбора промежуточных точек ?K, то этот предел называют определенным интегралом (или интегралом Римана) от функции f(x) на отрезке [a; b] и обозначают:

Если указанный предел существует, то функция f(x) называется интегрируемой на отрезке [a; b] (или интегрируемой по Риману). При этом f(x)dx называется подынтегральным выражением, f(x) - подынтегральной функцией, х - переменной интегрирования, a и b - соответственно нижним и верхним пределами интегрирования.

Определенный интеграл есть число, равное пределу, к которому стремится интегральная сумма, в случае, когда диаметр разбиения ? стремится к нулю.

Условия существования определенного интеграла

1) Интегрируемая функция необходимо ограничена.

Если бы функция f(x) была в промежутке [a, b] неограниченна, то - при любом разбиении промежутка на части - она сохранила бы подобное свойство хоть в одной из частей. Тогда за счет выбора в этой части точки можно было бы сделать f(), а с ней и сумму, - сколь угодно большой; при этих условиях конечного предела для существовать не могло бы.

    2) Для существования определенного интеграла необходимо и достаточно, чтобы было (S - s) = 0 S = m ?X, S = M ?X,

Где m и M - точные нижняя и верхняя грани. Суммы Дарбу s и S служат точными, соответственно, нижней и верхней границами для интегральных сумм.[6]

Основные свойства определенного интеграла:

1. Если нижний и верхний пределы интегрирования равны (a=b), то интеграл равен нулю:

Это свойство следует из определения интеграла.

2. Если f(x)=1, то

Действительно, так как f(x)=1, то

    3. При перестановке пределов интегрирования определенный интеграл меняет знак на противоположный: 4. Постоянный множитель можно выносить за знак определенного интеграла:

R

    5. Определенный интеграл от алгебраической суммы конечного числа интегрируемых на [a; b] функций f1(x), f2(x), ..., fN(x) равен алгебраической сумме определенных интегралов от слагаемых: 6. (аддитивность определенного интеграла). Если существуют интегралы и то существует также интеграл и для любых чисел a, b, c; 7. Если f(x) ? 0 [a; b], то

a < b

8 . (определенность определенного интеграла). Если интегрируемые функции f(x) и ?(x) удовлетворяют неравенству f(x) ? ?(x) [a; b], то

a >b.

9 . (об оценке определенного интеграла). Если m и М - соответственно наименьшее и наибольшее значения функции f(x), непрерывной на отрезке [a; b], то

a < b.

10. (теорема о среднем). Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a; b], то существует такая точка [a; b], что

Т. е. определенный интеграл от переменной функции равен произведению значения подынтегральной функции в некоторой промежуточной точке ? отрезка интегрирования [a; b] и длины B-a этого отрезка.[10]

1.

.

Пример 2.

Похожие статьи




Определение определенного интеграла - Определенный интеграл

Предыдущая | Следующая