Сходящиеся последовательности, Основные свойства сходящихся последовательностей: - Свойства функций

Говорят, что Последовательность сходится, если существует число такое, что для любого существует такое , что для любого , выполняется неравенство: .

Число называют Пределом последовательности . При этом записывают или.

Пример. .

Покажем, что . Зададим любое число . Неравенство выполняется для , такого, что , что определение сходимости выполняется для числа . Значит, .

Иными словами означает, что все члены последовательности с достаточно большими номерами мало отличается от числа, т. е. начиная с некоторого номера (при ) элементы последовательности находятся в интервале, который называется - окрестностью точки.

Последовательность, предел которой равен нулю (, или при ) называется Бесконечно малой.

Применительно к бесконечно малым справедливы утверждения:

    - Сумма двух бесконечно малых является бесконечно малой; - Произведение бесконечно малой на ограниченную величину является бесконечно малой.

Теорема. Для того чтобы последовательность имела предел, необходимо и достаточно чтобы , где - постоянная; - бесконечно малая.

Основные свойства сходящихся последовательностей:
    1. Сходящаяся последовательность имеет только один предел; 2. Сходящаяся последовательность ограничена; 3. Если, то ; 4. При любых постоянных и ; 5. ; 6. Если, и, то ; 7. Если, то ; 8. Если и, то ; 9. Если, то.

Свойства 3. и 4. обобщаются на случай любого числа сходящихся последовательностей.

Отметим, что при вычислении предела дроби, числитель и знаменатель которой представляют собой линейные комбинации степеней, предел дроби равен пределу отношения старших членов (т. е. членов, содержащих наибольшие степени числителя и знаменателя).

Последовательность называется:

Возрастающей, если ;

Строго возрастающей, если ;

Убывающей, если ;

Строго убывающей, если.

Все такие последовательности называют Монотонными.

Теорема. Если последовательность монотонно возрастает и ограничена сверху, то она сходится и ее предел равен ее точной верхней грани; если последовательность убывает и ограничена снизу, то она сходится к своей точной нижней грани.

Похожие статьи




Сходящиеся последовательности, Основные свойства сходящихся последовательностей: - Свойства функций

Предыдущая | Следующая