Геометрический смысл определенного интеграла - Неопределенный интеграл

О: Площадь криволинейной трапеции равна определенному интегралу, вычисленному от функции, график которой является верхним основанием, а ось абсцисс - нижним основанием.

Теорема существования определенного интеграла

Т: Если функция f(x) непрерывна на отрезке АВ, то ее интегральная сумма стремится к пределу при неограниченном увеличении числа точек разбиения и стремящейся к нулю длины наибольшего отрезка разбиения, не зависит от способа разбиения отрезка АВ на частичные отрезки и выбора в них промежутка точки.

Свойства определенного интеграла.

1. Определенный интеграл от суммы конечного числа функций равен сумме интегралов от подынтегральных функций.

Д:

2. Постоянный множитель можно выносить за знак определенного интеграла.

Д:

3. Если поменять местами пределы интегрирования, то знак перед интегралом поменяется на противоположный.

Д:

4. Если отрезок интегрирования [a, b] разбить на две части точкой С так, что [a, b]=[a, c]+[c, b], то

Д: Так как предел интегральной суммы не зависит от способа разбиения отрезка [a, b] на частичные отрезки, выберем точку С таким образом, чтобы она совпадала с одной из точек разбиения. Тогда, (1), где первая сумма правой части функции

(1) - сумма, соответствующая точкам разбиения отрезка [a, c], а вторая - отрезку [c, b],

С: Если С1, С2,... СNЄ [a, b], то

5. Если подынтегральная функция на отрезке [a, b] не меняет знак, то интеграл является числом такого же знака, что и подынтегральная функция на отрезке интегрирования [a, b], т. е., если f(x)?0, хє [a, b] =>

Д:

6. Значение определенного интеграла находится между произведением наименьшего и наибольшего значения подынтегральной функции на длину отрезка интегрирования, т. е.

Где.

Д:

7. Если то интеграл

Д:

8. Теорема о среднем.

Т: Внутри отрезка [a, b] существует хотя бы одно значение х=еє [a, b], такое что:

Д: Пусть, тогда ;

- Теорема о среднем для определения интеграла.

9. Формула для вычисления производной от определенного интеграла по переменному верхнему пределу.

Д:

10. Формула Ньютона - Лейбница.

О: Значение определенного интеграла равняется разности значений любой первообразной для подынтегральной функции в точках верхнего и нижнего предела соответственно, т. е.

Д: Рассмотрим интеграл.

Из функции (1) следует, что I(x) является первообразной для подынтегральной функции f(x), т. к. I' (x)= f(x). Пусть F(x) - какая-то первообразная для подынтегральной функции, тогда I(x)=F(x)+c (2).

Из (1) =>

Из (2) =>

Замена переменной в определенном интеграле

Т: Если на отрезке [х1,Х2] функции непрерывны и, то интеграл от

Д:

Интегрирование по частям в определенном интеграле.

Т: Пусть U=U(x), V=V(x), тогда

Д: Т. к. определенный интеграл равен разности значений первообразной в точках верхнего и нижнего и верхнего пределов, то интеграл

Похожие статьи




Геометрический смысл определенного интеграла - Неопределенный интеграл

Предыдущая | Следующая